Проблемы Борсука, Нелсона-Эрдеша-Хадвигера и Грюнбаума в комбинаторной геометрии

• Автор: Райгородский, Андрей Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 289 с. : ил.

Общая характеристика работы

Список использованных обозначений

1 Глава. Исторический обзор

1.1 Постановки задач

1.2 Проблема Борсука

1.2.1 Проблема Борсука в ’’малых” размерностях

1.2.2 Проблема Борсука для некоторых специальных классов множеств

1.2.3 Верхние оценки на минимальное число частей меньшего диаметра

1.2.4 Контрпримеры к гипотезе Борсука и нижние оценки на минимальное число частей меньшего диаметра

1.3 Хроматические числа некоторых метрических

пространств
1.3.1 Общая постановка задачи
1.3.2 Некоторые предварительные замечания
1.3.3 Оценки хроматических чисел в ’’малых” размерностях

1.3.4 Оценки хроматических чисел с ростом
размерности и реализация всех расстояний при разбиении пространства на некоторое число частей
1.4 Проблема Грюнбаума
Глава. Линейно-алгебраический метод.
Нижние оценки в задачах Борсука и
Нелсона - Эрдеша - Хадвигера
2.1 Несколько общих замечаний
2.2 Формулировки результатов
2.2.1 Проблема Борсука и хроматические числа некоторых метрических пространств
2.2.2 Одно обобщение задачи Нелсона - Эрдеша - Хадвигера
2.3 Доказательства результатов
2.3.1 Общее описание подхода
2.3.2 Доказательство теоремы 2.2.1
2.3.3 Доказательство теоремы 2.2.1
2.3.4 Доказательства теорем 2.2.1.3 и 2.2.1.4
2.3.5 Доказательство теоремы 2.2.1
2.3.6 Доказательство теоремы 2.2.1
2.3.7 Доказательство теорем 2.2.2.1 и 2.2.2.2
2.3.8 Несколько дополнительных наблюдений
2.4 Еще несколько результатов
2.4.1 Системы векторов с запретами на скалярные произведения
2.4.2 О связи между задачами Борсука и Нелсона - Эрдеша - Хадвигера
2.4.3 Доказательство теоремы 2.4.1
2.4.4 Доказательство теоремы 2.4.2
2.5 Краткое резюме метода
3 Глава. Метод альтернирования.
Хроматические числа конечных геометрических графов
3.1 Несколько общих замечаний
3.2 Постановки задач
3.3 Формулировки результатов
3.3.1 (-1,0,1) - задача
3.3.2 (-2,-1,0,1,2) - задача
3.3.3 Общий случай в задаче
3.4 Доказательства результатов
3.4.1 Небольшое напоминание (общие предпосылки)
3.4.2 Доказательство теоремы 3.3.1
3.4.3 Доказательство теоремы 3.3.1
3.4.4 Доказательство теоремы 3.3.1
3.4.5 Доказательства теорем 3.3.2.1 - 3.3.2
и 3.3.3.1, 3.3.3
3.5 Соотношения между полученными
результатами
3.6 Еще несколько результатов
3.6.1 Приложение разработанного метода к задаче параграфа 2.2
3.6.2 О числах Борсука и Нелсона - Эрдеша
- Хадвигера
3.6.3 Доказательство теоремы 3.6.2
3.6.4 Доказательство следствия 3.6.2.1
3.6.5 Дополнение

2 Глава. Линейно-алгебраический метод. Нижние оценки в задачах Борсука и Нелсона - Эрдеша - Хадвигера
2.1 Несколько общих замечаний
В течение последних двадцати лет в связи с различными задачми комбинаторики шло бурное развитие так называемого линейно-алгебраического метода. В частности, огромную роль этот метод сыграл в решении проблем, относящихся к экстремальным свойствам графов и гиперграфов с запретами на мощности пересечения ребер, - классических проблем в духе Хилтона - Милнора или Эрдеша - Ко - Радо (см. [82], [83], [84]). В восьмидесятые - девяностые годы прошлого века выяснилось, помимо всего прочего, что упомянутые задачи, в свою очередь, тесно связаны с проблемами Борсука и Нелсона - Эрдеша - Хадвигера. Появились замечательные работы [34], [72], [85], в которых был заложен фундамент для дальнейшей деятельности. Именно проблемы комбинаторной геометрии послужили впоследствии наиболее мощным катализатором для разработки новых и уточнения старых линейно-алгебраических средств. И здесь значительную роль сыграли статьи соискателя, написанные в период с 1997 по 2004 год: в серии публикаций ему удалось обосновать важность своего подхода и применить его для существенного усиления многих прежних результатов относительно проблем Борсука, Нелсона - Эрдеша - Хадвигера и их обобщений. Результаты этой главы содержатся в работах [141], [145], [147] - [153], [155] и [158] - [160]. Отметим, кроме того, что некоторые смежные вопросы обсуждаются,