Устойчивость дискретных систем

• Автор: Кузнецов, Николай Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 86 с.

Глава I. Устойчивость по первому приближению
1. Характеристические показатели
2. Спектр лнненйной однородной системы
3. Правильные системы
4. Дискретный аналог теоремы Перрона
5. Оценка матрицы Коши для правильной системы
6. Дискретный аналог теоремы Ляпунова
7. Дискретный аналог контрпримера Перрона
Глава 1 I. Устойчивость потоков
Глава 11 I. Неустойчивость
1. Дополнение к контрпримеру Перрона
2. Методы триангуляции
3. Неустойчивость по Красовскому
4. Неустойчивость по Ляпунову
Глава V 1. Вспомогательные результаты
Метод первого приближения является одним из центральных в теории устойчивости движения. Эта методика широко используется для изучения непрерывных и дискретных систем (см. например монографии Г. Шустера [1], Ф. Муиа [2], Ю.И. Псй.чарка и П.С. Ланда [3], а также публикации [4-7]).
Для непрерывных систем дифференциальных уравнений хорошо известны критерии устойчивости по первому приближению Ляпунова [8], Персидского [9], Малкина [10], Четасва [11], Массера [12], Красовского [13] и различные их обобщения.
Некоторые аналоги и развитие этих результатов для дискретных систем приведены в монографиях П.В. Бромберга [14], И.В. Гайшуна [15], J.P. LaSalle [1G], S. Elyadi [17] и других авторов.
При исследовании устойчивости по первому приближению наряду с методом построения функцій'і Ляпунова широко используется метод характеристических показателей. Для непрерывных систем А.М. Ляпуновым показано, что если

линейная система первого приближения является правильной и все ее ляпуновские показатели отрицательны, то нулевое решение исходной системы асимптотически устойчиво.
В 1930 год,' О. Перрон [18] показал, что требование правильности системы первого приближения является существенным. Он привел пример системы с неустойчивым по Ляпунову решением, линеаризация вдоль которого является неправильной и имеет отрицательные ляпуновские показатели.
Существуют также критерии неустойчивости, использующие метод характеристических показателей Ляпунова. Такие критерии были получены Н.Г. Четаевем [11].
Для дискретных систем развитие аппарата характеристических показателей и критериев устойчивости по первому приближению подробно изложено в диссертации В.Б. Демидовича.

< а(і)|х(0)-у(0)|, где супремум берется по всем ги из шара
{?у| |ш-а-0| < |х0 - Уо]}-
ІІЗ оценки (62) следует утверждение ТЄОрСМЬІ.
Теорема доказана.

Доказанная теорема устанавливает асимптотическую устойчивость по Ляпунову потока решений с начальными данными из І2, если их линеаризации имеют отрицательные ля-пуновские экспоненты. Здесь не возникают эффекты, открытые О. Перроном для неправильных линеаризаций индивидуальных решений.
Здесь требование равномерности экспоненциального убывания ”по /0” сингулярных чисел фундаментальной матрицы линеаризации заменено требованием равномерности ”по то”. Таким образом, перроновские эффекты возможны лишь на границах потока устойчивого по первому приближению.