Методы анализа структуры вхождения переменных и их применение для решения больших нелинейных систем уравнений

• Автор: Вартанян, Ашот Мамиконович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 207 c. : ил

С ОДЕРЖАНИЕ

Глава I. О РЕШЕНИИ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ЗАДАННОЙ СТРУКТУРЫ
§ 1.1. Правила преобразований систем уравнений
§ 1.2. Случай линейной системы
§ 1.3. Случай нелинейной системы
Глава 2. РАСЧЁТ ПОТОКОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 59 § 2.1. Метод расчёта гидравлических цепей большого размера
§ 2.2. Методика расчёта установившихся режимов электрических систем
Глава 3. АЛГОРИТМЫ И РАСЧЁТЫ
§ 3.1. Представление систем, алгоритмы нахождения информационных переменных и построения информационного
графа
§ 3.2. Алгоритмы преобразования информационного графа и
системы уравнения
§ 3.3. Алгоритмы расчёта гидравлических и электрических
цепей
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ

Проблема решения систем нелинейных уравнений является одной из основных при расчёте различных технических объектов. При этом за последние годы всё чаще возникает необходимость разработки эффективных методов решения больших систем уравнений. Это обусловлено ростом и укрупнением рассматриваемых объектов, необходимостью комплексного подхода к их расчёту. Кроме того, от эффективности решения систем уравнений зависят многие оптимизационные задачи, где нарастающие размеры системы требуют выработки новых подходов к изучению и реализации решения этих систем [3,
4, 6-8, 18, 23-25, 28, 30, 33-39, 44-46, 51, 52] и др.
Вопросам решения больших систем уравнений уделяется много внимания в работах Д.Д.Рооза, А.Джо ржа, Е.Катхилла, И. Даффа, К.Кеворкяна, Дж.Уилкинсона, Р.Тьюарсона, Дж.Стьюарта, А.Директора, X.Марковича и многих других [20, 42, 47-49, 57-82]. В этих работах в основном изучаются задачи определённого класса и на этой основе делаются теоретические обобщения.
Особый интерес представляют разреженные системы, привлечению внимания к которым способствовала монография Р.Тьюарсона [47].
Изучение больших систем уравнений стало предметом для многих направлений и является составной частью различных теоретических и практических исследований, как оптимизация больших систем, исследование больших энергосистем и т.д. ([18, 26, 56] и т.д.).
Немаловажную роль в развитии интереса к большим системам играют разработки академиков А.И.Тихонова, A.A.Самарского и их учеников в области построения разностных схем, где получаются сильно разреженные системы, имеющие большой порядок [44,45] и др.

Следует отметить успехи, достигнутые у нас в стране по изучению больших систем, особенно в работах по электротехнике (В.А.Венников, Д.А.Крумм, Д.А.Арзамасцев, Х.Ф.Фазылов, В.С.Ха-чатрян, П.И*Бартоломей, В.И.Идельчик и многие другие [I, 9, 18, 21, 22, 25, 50, 56]).
В вопросах опознания и характеризации разреженных систем большую роль играет применение теории графов, хотя лишь немногие его результаты нашли прямое применение. Результаты в основном относятся к вопросам декомпозиции системы, т.е. изучению отдельных частей системы таким образом, чтобы в совокупности получить решение в целом.
В численном решении разреженных систем вопрос в основном сводится к разработке таких методов, которые обеспечивали бы уменьшение числа арифметических операций и не требовали бы слишком большой памяти ЭВМ. При этом часто возникает задача решения многих систем одинаковой структуры, т.е. таких систем, которые имеют одинаковый характер вхождения переменных в уравнения, но отличаются численными значениями различных параметров.
Настоящая работа связана с исследованием больших разреженных систем алгебраических уравнений, основанном на анализе структуры вхождения переменных в уравнения.
Целью диссертационной работы является разработка эффективных методов анализа и решения больших разреженных систем, учитывающих структурные особенности конкретных задач, а также алгоритмов и программ, реализующих эти методы. В качестве основного объекта приложений выбраны системы уравнений расчёта режимов гидравлических и электрических систем.
В работе предлагается некоторый метод описания структуры вхождения переменных в системе нелинейных уравнений, который

*к) = 0. (1.3.15)
Заметим, что если переменные х фиксировать, то подсистему (1.3.14) можно рассматривать как отдельную систему относи-тельно переменных £ . Это дает основание предполагать, что
система (1.3.14), (1.3.15) двухуровневая, при этом подсистему
(1.3.14) отнесём к первому уровню, а подсистему (1.3.15) - ко второму.
Следовательно, можно сделать предположения, что переменные
и 1 г
Х_ выражаются через х из подсистемы (1.3.13), т.е.
X*'* (1.3.16)
(Здесь мы подразумеваем, что для любого фиксированного система
(х^7 хк)= 0 (1.3.17)
имеет решение относительно £_ , независимо от того, решение
тривиальное или нет).
Подставляя выражение (1.3.16) в (1.3.15), получим замкнутую систему уравнений и переменных
срь Сжк) - (?, (1.3.18)
где <рк(Ж1') - ^(ж*'1 (хк),
Будем решать систему (1.3.18) методом Ньютона. Для этого найдём приращение из линейной системы
^(хк)х.к -крк(а:к).а, (1_зл9)
01^ 0Т_ дгр1
дхк дх^'1 дх1
где со' _ к +
•к о-к Ъ~к-1 Ъюк
Пользуясь приёмами решения двухуровневых систем (1.3.1),(1.3.2)