Совершенные коды и n-арные квазигруппы: конструкции и классификация

• Автор: Кротов, Денис Станиславович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 225 с. : ил.

Оглавление
Введение

Содержание работы

I Квазигруппы

Основные определения

Обозначения

1 О разложимости двукратных МДР-кодов и разделимости

п-арных квазигрупп порядка 4

1.1 Введение

1.2 Определения и обозначения

1.3 Вспомогательные результаты
1.4 Разложение 2-МДР-кодов
1.5 Разложимость (гг, 2)4 МДР-кодов
1.6 Разделимость п-арных квазигрупп порядка
1.7 Приложение. О функциях с разделимыми аргументами
2 Признак разделимости п-арных квазигрупп в терминах
разделимости ретрактов
2.1 Формулировка результата и деление на под случаи
2.2 Доказательство леммы 2.3 (3 < к < п — 3)
2.2.1 Вспомогательные утверждения
2.2.2 Доказательство леммы 2.

2.2.3 Приложение. Пример
2.3 Доказательство леммы 2.4 (к = п — 2), случай п >
2.4 Доказательство леммы 2.4 (к = п — 2), случай п —
2.5 Доказательство леммы 2.2 (к = 2)
3 п-Арные квазигруппы порядка 4 и сублинейные п-арные квазигруппы порядков 5 и 7
3.1 Введение
3.2 Основные определения
3.3 Основной результат
3.4 Доказательство леммы 3.
3.5 Сублинейные п-квазигруппы
4 О свитчинговой разделимости графов
4.1 Введение
4.2 Доказательство теоремы 4.
4.2.1 Случай к >
4.2.2 Случай к =
4.3 Доказательство теоремы 4.
4.4 Графы, булевы функции, квазигруппы
4.4.1 Расширенные булевы функции
4.4.2 п-Арные квазигруппы
II Совершенные коды
5 Вложение в совершенный код
6 О числе 1-совершенных двоичных кодов:

нижняя оценка
6.1 Введение
6.2 Предварительные сведения
6.3 J1A конструкция расширенных 1-совершенных кодов
6.4 Вычисления
6.5 Нижняя оценка числа 1-совершенных кодов
7 О диаметрально совершенных равновесных троичных кодах
7.1 Введение
7.2 Пространство Хп и ребра в {0,1}п
7.3 Совершенные коды с расстоянием
7.3.1 Совершенные коды с расстоянием 3 и совершенные па-росочетания в {0,1}п
7.3.2 Конструкция совершенных кодов с расстоянием 3
7.3.3 Группа автоморфизмов и транзитивность
7.3.4 Неэквивалентность
7.4 Диаметрально совершенные коды с расстоянием
7.5 Диаметрально совершенный коды с расстоянием
7.5.1 Связь с кодами Препарата
8 О Z2*-дуальных двоичных кодах
8.1 Введение
8.2 Определения и основные факты
8.2.1 Z 8.2.2 Ко-.^-линейные коды

Z'^'ll+-+гk — все элементы множества {1} х (2к 1К2к)н х (2к 2К2к)12 х ... х (2°Е2к)%к, упорядоченные лексикографически. Определим линейный код
дуальный ему код обозначим через Р/.
Теорема 14 (теоремы 8.14, 8.17). Код Ф{'Ні) является двоичным ( пт, 2П7П/2пт, 4)-кодом, т.е. расширенным 1-совершенным кодом. Код <д('Дг) является двоичным (п2к~1, п2к, п2к~2)-кодом, т. е. кодом Адамара.
Теорема 15 (теорема 8.21). Если Н — линейный К%к-код такой, что двоичный код Ф(Н) является расширенным 1-совершенным кодом, то Н эквивалентен одному из кодов Ні, т. е. получается из него перестановкой координат и умножением некоторых координат на константы.
Важным частным случаем последних двух теорем является случай к = 2 [II]. [XIII], когда отображения Ф и р совпадают с обычным отображением Грея и построенные коды являются .^-линейными.