Методы поиска и улучшения экстремальных процессов в невыпуклых задачах оптимального управления

• Автор: Розинова, Надежда Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 108 с.

Содержание
Введение

ГЛАВА 1. Основная задача. Методы линейно-квадратичной

аппроксимации

1.1 Основная задача. Фазовая аппроксимация

1.2 Метод фазовой линеаризации

1.3 Метод квадратичной аппроксимации

1.3.1 Задача улучшения. Нелокальные методы

1.3.2 Обоснование свойств улучшения

1.3.3 Задача без ограничений на управление

1.3.4 Численная реализация

ГЛАВА 2. Задача на максимум нормы конечного состояния.
Условия оптимальности и методы улучшения
2.1 Постановка задачи. Экстремальные точки
2.2 Условия оптимальности
2.3 Улучшение экстремальных точек
2.4 Численная реализация
2.5 Квадратичная вспомогательная задача
ГЛАВА 3. Избранные задачи невыпуклой оптимизации. Специализированные методы
3.1 Задача (1.с.-оптимизации и условия глобального экстремума
3.1.1 Необходимое условие оптимальности
3.1.2 Достаточное условие оптимальности
3.2 Задача на максимум евклидовой нормы
3.2.1 Метод скорейшего подъема
3.2.2 Максимизация нормы на параллелепипеде
3.2.3 Задача максимизации полунормы
3.3 Билинейная система специального вида
Заключение
Список литературы

Введение
В настоящее время теория оптимального управления имеет большое число различных приложений и является активно разрабатываемым разделом современной математики.
Проблема вычислительных методов оптимального управления имеет устойчивую актуальность, которая определяется, в первую очередь, потребностями надежного и обоснованного решения новых, всё более сложных прикладных задач (динамика полета, физико-технические процессы, экономические модели, экология, медицина и др.). С другой стороны, не менее важной является необходимость проведения фундаментальных исследований по дальнейшему развитию теории вычислительных методов оптимального управления (расширение классов рассматриваемых задач, поиск глобальных решений в невыпуклых задачах, обоснованная работа с вырожденными задачами и др.).
Разработка вычислительных (итерационных) методов решения задач оптимального управления органично связана с условиями оптимальности и традиционно использует типовые конструкции, аппроксимации и процедуры варьирования, полученные в рамках качественной теории. Исторически в этой области определились и активно развиваются следующие подходы и направления исследований:
1) итерационные процедуры принципа максимума (ПМ) - локальные и нелокальные аппроксимации функционалов, вспомогательные задачи на максимум функции Понтрягина, разнообразные схемы игольчатого варьирования управлений, методы игольчатой и фазовой линеаризации, процедуры нелокального улучшения [25]-[28], [32], [41], [46], [53], [75], [89],[94],[95] ;
2) градиентные методы оптимального управления - классические и неклассические вариации функционалов, вспомогательные задачи на минимум вариаций, слабое варьирование управлений, квазиградиентные методы [29], [39], [75], [76], [90], [91], [114] ;
3) методы улучшения на основе достаточных условий оптимальности

- линейно-квадратичная реализация разрешающей функции, работа с дифференцируемой функцией Гамильтона и уравнением Риккати, варьирование управлений с помощью регуляризации основного функционала с целью обеспечения сильного и слабого улучшения [17], [38], [47], [ИЗ];
4) методы оптимального управления в режиме реального времени - опорные процедуры поиска программных решений, неклассическая технология решения проблемы оптимального синтеза [35], [36];
5) методы математического программирования в задачах оптимального управления - дискретные аппроксимации моделей оптимального управления, расчетные формулы для производных сложных функций по компонентам дискретного управления, адаптация методов конечномерной оптимизации к специфике дискретных задач, вопросы сходимости аппроксимаций [30], [42], [43], [54].
В качестве актуальных и перспективных проблем дальнейшего развития конструктивной теории оптимального программного управления можно выделить следующие направления:
• разработка и исследование специализированных методов (как минимум, нелокального характера) численного решения определенных классов задач оптимального управления (линейные, квадратичные и др.)
• разработка обоснованных схем и слабоэвристических стратегий поиска глобальных решений специальных классов невыпуклых задач (билинейные, б.с.-задачи и др.), создание вычислительных методов со свойством улучшения экстремальных управлений в общих задачах;
• построение и использование нестандартных (с точки зрения качественной теории) аппроксимаций функционалов задачи, конструктивная формализация процедур варьирования, обоснованное построение и аналитическое решение вспомогательных задач на поиск элементов варьирования.
К настоящему времени оформились как в результативном, так и в методическом плане основные подходы к численному решению задач

Представим, например, две альтернативные процедуры улучшения для управления v £ V с сопряженной траекторией p(t,v):
1.1) сформировать вектор-функцию v*(ôx. t) — v(p(t, v), Sx, t),
1.2) сформировать вектор-функцию v*(Sx. t) = v(p(L, v), Sx, t),
2) найти решение 5x(t) системы в вариациях
Sx = fx[t, u)6x + fu[t, u](v*(ôx, t) - u{t)), ôx(t0) = 0,
3) вычислить управление w(t) = v*(5x(t),t), t G T.
В результате имеет место улучшение в рамках задачи (1.19)
02Ф{и, w, а) < 02<&(u,v,a).
1.3.2 Обоснование свойств улучшения
Пусть va € V - решение вспомогательной задачи (1.20). Образуем семейство управлений варьирования
ua(t) = u(t) + a(vn(t) - u(t)), t € T
и обсудим возможности улучшения управления и £ V в задаче (Р) в зависимости от его статуса.
Введем множество //-максимизирующих управлений
V(u) = {и G V : v(t) = argmax{Hu[t,u],w), t £ T}.

Тогда принцип максимума для управления и £ V равносилен включению и £ V(и).
Условие оптимальности второго порядка определяется интегральным неравенством для второй вариации функционала
I (Q[t,vSx(t,v),v(t) — u(t))dt < 0, Vv £ V(u), (1-21)
в котором фазовая вариация Sx(t,v) порождается управлением v{t).
Рассмотрим основной случай, когда управление u(t), t £ Т не удовлетворяет ПМ: и V(it). Это значит, что 3v £ V(u) :
J (Hu[t,u],v(t) — u(t))dt = Si(u) > 0.