Регулярные методы локализации особенностей

• Автор: Антонова, Татьяна Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 207 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Локализация особенностей зашумленной функции
§ 1.1. Интерпретация функций с особенностями как обобщенных
функций
§ 1.2. Постановка задач локализации особенностей и основное разложение вспомогательной функции
§ 1.3. Построение и исследование методов локализации для конечного числа особенностей
§1.4. Оценки снизу точности и разделимости; оптимальность методов
§ 1.5. Построение и исследование методов локализации для функции со счетным числом особенностей
Глава 2. Локализация особенностей решения уравнения первого рода типа свертки
§2.1. Методы локализации особенностей решения уравнения первого рода типа свертки
§ 2.2. Метод локализации особенностей решения уравнения первого
рода типа свертки со ступенчатым ядром
§ 2.3. Оценки снизу точности и разделимости; оптимальность методов
Глава 3. Локализация линий разрыва зашумленной функции двух переменных
§ 3.1. Построение и исследование вспомогательной функции . . . . 118 § 3.2. Постановка задач локализации линий разрыва

§3.3. Построение и исследование методов локализации для конечного числа особенностей
§ 3.4. Локализация линий разрыва функций двух переменных для
счетного числа особенностей
Глава 4. Идентификация числового параметра в ядре оператора на классах функций с разрывами
§4.1. Постановка задачи и основное разложение
§ 4.2. Предварительные оценки
§4.3. Метод идентификации параметров
Глава 5. Прикладные задачи локализации особенностей
§5.1. Метод разделяющих функционалов при расшифровке локальной атомной структуры
§ 5.2. Численные эксперименты локализации разрывов первого рода зашумленной функции
§ 5.3. Численные эксперименты идентификации параметра на
классах функций с разрывами
Список обозначений
Список литературы

Введение
Работа посвящена конструированию и исследованию методов решения неустойчивых задач локализации особенностей функции одного или двух переменных. Изучены методы усреднения, для которых удается аналитически описать эффекты типа Гиббса, возникающие в окрестности особенностей. Это аналитическое описание, в частности, позволяет исследовать сходимость и получить оценки точности методов.
Одним из центральных понятий, используемых для классификации задач математической физики, является понятие корректности. Задача называется корректно поставленной по Ж.Адамару, если выполнены следующие условия:
1) решение существует для всех входных данных;
2) решение единственно;
3) решение непрерывно зависит от данных в некоторой разумной топологии.
Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному условию, называются некорректно поставленными (или некорректными). Поскольку такого рода задачи описывают многие процессы и явления в пауке, технике и естествознании, то естественно пытаться построить методы решения задач, не удовлетворяющих условиям 1)-3). При этом наиболее сложной является ситуация, когда рассматриваемая задача не удовлетворяет условию 3). В этом случае решение, полученное классическими методами с данными близкими к точным, может как угодно сильно отличаться от точного (искомого) решения.
Развитие теории некорректно поставленных (неустойчивых) задач началось с основополагающих работ А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева, в которых был предложен подход — метод регуляризации, позволяющий эффективно решать некорректно поставленные задачи. Среди

Возвращаясь к содержанию главы 4, опишем основную техническую идею построения итерационного процесса, которая изложена в § 4.1. Оказывается, что для некоторых ядер К(Ь,а) при неточном задании параметра а в окрестности разрывов функции х наряду с эффектами типа Гиббса, описываемыми формулой (0.0.3), появляются новые эффекты, главную часть которых можно описать аналитически. А именно, для вспомогательной функции (схема § 2.1 для задачи VI)

*аИ(*) = J у6ОО/лИО5 - *)<#> л > °>

если порождающая функция ф принадлежит множеству
Ф7[А'<7]=|0€И/27+1: У<те(сг1, сг2), УЛ> 03/л [а] еЬ2: >1* [сг] /А [сг]=—^ (—в)} ,
имеет место разложение I
ЖдИОО = Ак ■ фх(з - 5к) + аА(в) + Дх^[сг](з)+ (0.0.12)

+{а-(Т*)р[(1*} ^2 Ак ■ (0д(в - 5/ь))17) + (сг-<7*)/3а[сг*](5) + (<7-<г*)2Р1[<г(.8),

эир |ал(з)| < АцЛ0'5, ьир Ах{[а](з) < 6г](Х,а), г](,а) = ||/аН||ь2,
5 5,|<7*—(7|<р
О < р[а*] < р, яир |$[а*](в)| < В:А0-5~7, эир |^л[ег](в)| < В2~2'1.
3 ^,|сг*—ст<1>
(0.0.13)
Здесь р,Ао, В,В2 — положительные константы, целое число
7 > 1. Также предполагается, что существует функция А)
такая, что г](А, сг)А-0'5 < г}{А) для всех а : |ст* — сг| < р,
ту(А) монотонно убывает и ^Пт т)(А) = оо.