Алгоритмы вычисления многомерного логарифмического вычета и некоторые их приложения

• Автор: Потапова, Зинаида Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 93 с.

1. Общая характеристика работы

1.1. Актуальность темы

1.2. Цель диссертации

1.3. Методика исследования б

1.4. Научная новизна

1.5. Апробация работы б

1.6. Публикации

1.7. Структура и объем работы

2. Содержание работы

Глава 1. Предварительная

1. Многомерный логарифмический вычет

2. Алгоритмы исключения неизвестных
2.1. Классическая схема исключения неизвестных
2.2. Алгоритм Бухбергера
2.3. Метод исключения неизвестных, основанный на формуле
многомерного логарифмического вычета
3. Системы компьютерной алгебры, используемые в диссертации
3.1. Система МАРЬЕ
3.2. Система МАТЕМАТИКА
Глава 2. Нахождение результанта для невырожденных систем с
помощью матрицы перехода
4. Базис Гребнера

5. Алгоритм нахождения степенных сумм
6. Примеры
Глава 3. Формулы для нахождения степенных сумм корней систем
мероморфных функций
7. Постановка задачи
8. Формулы для нахождения степенных сумм корней систем
мероморфных функций
9. Нахождение сумм некоторых двойных рядов
10. Компьютерная реализация полученных формул
Приложения
Библиография

1. Общая характеристика работы
1.1. Актуальность темы.
Формула многомерного логарифмического вычета хорошо известна в теории функций многих комплексных переменных (см., например, [2, 20, 21]). Она дает интегральное представление суммы значений голоморфной функции в нулях некоторой системы голоморфных функций, заданных в областях пространства С". Интеграл в этой формуле должен быть вычислен по циклам, (остовам аналитических полиэдров) действительной размерности п. Для достаточно широких классов алгебраических отображений известны формулы вычисления данного интеграла через коэффициенты полиномов, входящих в-систему (см., например, [2, 6, 20, 26, 27]). Но эти формулы настолько сложны, что практически (без разработки алгоритмов вычисления) их невозможно применить даже для простых систем. Тем более, что часто в системы входят параметры.
Первые попытки в создании таких алгоритмов (и их компьютерная реализация) для-систем-с выделенной главной'частью, треугольных систем были даны в работах В:И.Быкова, А.М.Кытманова, М.З;Лазмана, Т.А.Осетровой [6, 5,,7, 17,,8, 26]. В данных работах были рассмотрены применение формулы многомерного логарифмического вычета к исключению неизвестных из систем алгебраических уравнений. Этот модифицированный метод исключения неизвестных, предложенный Л.А.Айзенбергом в [1], был затем развит в [6, 26]. Но для невырожденных систем алгебраических уравнений (практически самых общих алгебраических систем) такие разработки отсутствовали.
Тематика диссертации также связана с активно развивающимся в последнее время новым направлением в*математике — компьютерной алгеброй многочленов, лежащей на стыке алгебры, математического анализа, и программирования. Многие нелинейные задачи в приложениях характеризуются множественностью стационарных состояний. Эти запросы инициируют

ГЛАВА
Нахождение результанта для невырожденных систем с помощью матрицы перехода
4. Базис Гребнера
Рассмотрим систему алгебраических уравнений в С1:
/і =0, 1 = 1,... ,п (2.1)
где — полиномы степени %. Пусть /,- = Р, + (£,, где Р] — старшая однородная часть а степень С}строго меньше к,. Наряду с системой (2.1), рассмотрим систему
Р, = 0, у = 1,... ,П. (2.2)
Напомним, что.система-(2.1)-невырождена; если система (2.2) имеет только одно решение — точку 0. Мы будем иметь дело с многочленами коэффициенты которых зависят от каких-то параметров. В этом случае система (2.1) считается невырожденной, если система (2.2) имеет одно решение для почти всех значений в пространстве параметров.
Известно, что невырожденные системы вида (2.1) характеризуются тем, что они имеют в пространстве С” конечное число корней и не имеют корней на бесконечной гиперплоскости П (см. главу 1).
Число корней для невырожденных систем дает теорема Везу: число корней (2.1) с учетом их кратностей равно произведению степеней к^кг--- кп.
Если система вида (2.1) имеет конечное число корней в СР”, то дробно — линейным преобразованием она может быть сделана невырожденной, достаточно в СР” бесконечно удаленной плоскостью П сделать гиперплоскость,