Разностные схемы для уравнений одномерного движения вязких сжимаемых теплопроводных сред

• Автор: Вестфальский, Алексей Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 138 с. : ил.

Глава 1. Постановка задач и вспомогательные результаты

§ 1.1. Начально-краевая задача для уравнений движения вязкого реального газа

§ 1.2. Начально-краевая задача для уравнений движения термовязкоупругого тела типа Фойхта

§ 1.3. Сеточные функции и некоторые их свойства

Глава 2. Разностная схема для уравнений одномерной динамики

вязких сжимаемых сред

§2.1. Разностная схема

§2.2. Априорные оценки и разрешимость разностной схемы

для задачи динамики вязкого реального газа

§ 2.3. Априорные оценки и разрешимость разностной схемы

для задачи динамики термовязкоупругого тела

§ 2.4. Сходимость разностной схемы
§ 2.5. Единственность разностных решений
§ 2.6. Реализация разностной схемы
Глава 3. Разностная схема для двухмасштабных осредненных
уравнений одномерной динамики вязких сжимаемых сред
§ 3.1. Начально-краевая задача
§ 3.2. Разностная схема для двухмасштабных осредненных
уравнений одномерного движения вязкого реального газа
§ 3.3. Разностная схема для двухмасштабных осредненных уравнений одномерного движения нелинейного термовязкоупругого тела типа Фойхта
§ 3.4. Сходимость разностной схемы для двухмасштабных
осредненных уравнений
§ 3.5. Единственность решения разностной схемы для двух-

масштабных осредненных уравнений
§ 3-6. Реализация разностной схемы
§ 3.7. Численные эксперименты
Литература
Приложение 1. Результаты численного решения примера
Приложение 2. Результаты численного решения примера
Приложение 3. Результаты численного решения примера

Задачи движения вязких сжимаемых сред относятся к основным задачам механики сплошной среды и давно являются объектом пристального изучения [17] [35], [41]. Принятая для описания одномерного движения математическая модель включает систему трех квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных (уравнений На-вье - Стокса). В лагранжевых массовых координатах эта система имеет вид:
r]t = Ux, (1)
Щ = сгх + д, сг = и(г])рих-р(г],в), р = 1/г], (2)
е(?7,6)t = 7гх + аих + /, 7Г - х(г],в)рвх. (3)
Входящие в нее уравнения импульса и энергии являются параболическими относительно искомых функций - скорости и и температуры в , а уравнение неразрывности - уравнением первого порядка относительно искомого удельного объема т], так что вся система уравнений не имеет определенного типа. Теория таких систем уравнений (систем составного типа) развита еще недостаточно.
Как следует из второго начала термодинамики, существует зависимость между входящими в уравнения (2) и (3) внутренней энергией c(rj,Q) и давлением р{г),в) [35], выражающаяся термодинамическим
тождеством . , . ,
еп [т],в) = 6р9 {г],в)- р(г], в).
На настоящий момент наиболее изученными являются уравнения одномерного движения совершенного политропного газа (т.е. когда дав-ление и внутренняя энегрия связаны с удельным объемом и температурой соотношенями p(rj, в) = кв/р, е(г], в) = сув, где су VI к — константы). Теория глобальной разрешимости основных начально-краевых задач и задачи Коши для таких уравнений была построена в работах Кажихо-ва A.B., Шелухина В.В., Вайганта В.А. [17], [27 — 30], [48], [21], [22].

При 0 < 0 < 1, очевидно, |Р^| < К(М).
Лемма 3.5. Пусть <р 6 П/11,1ос(Ж+), ср' < 0. Тогда для функции

Ф(0) = / л/—(1 + €)0(Р'{£) ^ справедлива оценка
|<5Ф(0)| < ^(]7)[-^(0)П]х/2. (3.8)
Доказательство. Повторяя рассуждения леммы 2.9, получаем оценку (2.30), из которой с учетом оценки К-1 < Н < К следует (3.8).
Лемма 3.6. Справедлива первая оценка (2-4), а также оценка (2.37).
Доказательство. Умножим неравенство (2.27) скалярно в 1*2 (<2) на (р(0) = [1+1п(1 + 0)]_1 и с помощью леммы 2.5 получим неравенство
(—П,М0))ок + И0), (1 тс? гс2)М(ЗгН)*)0 <
< {Ерг=т, 1)п - |(=о, 1)п + {.P^p,дtH)Q.
Применяя неравенство (3.8), оценки К^1 < Н < До» И-^Нх,! оо(<Э) — неравенства (2.24) и пользуясь тем, что (д + с2)т <1/2 имеем
< ||Я|[=г||ь1(п) + ||е(Я°, ЦИмп, + ||Р^(0)-1/2Ык(0)1/28«Я||о <
< крЫву^в.нЩ + КгЫ&ГтРЛа + к
Отсюда в силу неравенства (3.7) и первой оценки (3.6) для всех е € (0,1) получаем
ИКв®, < АГ5,.(||вя+чи,(<г) +1) <
£ К.Д||в||^(в)||еГ-^.(в) +1) < Кв,е||0||?-« ..№) + *».<•
Используя неравенства (2.39), (2.38) и оценку ||0||дг ^(с?) < К, имеем
нвн^и«) * ^(и^(в)и^+1) < квлт?:;::^+к9А.