Метод аппроксимации эволюционных операторов с помощью экспоненциального представления и рациональных функций в гильбертовом пространстве

• Автор: Селин, Алексей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Дубна
• Количество страниц: 103 с. : ил

Введение
СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА 1 Свойства уравнения х'(1) = А(£)х в гильбертовом пространстве
1.1 Полугрупповые и эволюционные операторы
1.2 Операторы А(Ь) класса ([О, Г])
1.3 Рациональные аппроксимации сжимающих полугрупп
ГЛАВА 2 Построение аппроксимаций эволюционных операторов
2.1 Аппроксимация квадратур в хронологических рядах
2.2 Аппроксимация эволюционного оператора с помощью экспоненциального представления
2.3 Сходимость аппроксимаций эволюционного оператора
2.4 Приложение к дифференциальным операторам Шредингера
ГЛАВА 3 Приложение метода к численному решению нестационарного уравнения Шредингера
3.1 Модельная двухуровневая задача
3.2 Атом водорода в переменном электрическом поле
3.3 Метод вычисления энергетической зависимости фотоэлектронного спектра
3.4 Многофогонная ионизация атома водорода модулированным по амплитуде лазерным импульсом
Заключение
Приложение А Ряд Тейлора для логарифма оператора эволюции
Список литературы

Введение
В прикладных задачах математической физики часто возникает потребность в решении многомерных параболических уравнений вида х'{1) — у4(£).т(Д с линейным эллиптическим дифференциальным оператором в частных производных. Классическими примерами таких уравнений могут служить уравнение теплопроводности и нестационарное уравнение Шредингера. В настоящее время при численном решении такого рода задач наибольшее распространение получили методы, имеющие невысокий порядок (первый или второй) аппроксимации по временной переменной t и существенным образом использующие представление в расщепленном виде оператора А(£) = Аа(Ь). При возможности выбора удачного такого пред-
ставления весьма эффективным оказывается применение большой группы методов, включающих в себя методы дробных шагов [1, 2, 3, 4, 5], методы переменных направлений [6, 7, 8, 9, 10], методы расщепления [11, 12] и методы факторизации [13, 14, 15, 17, 16]. Общей стороной этих методов является редукция как правило жесткой или осциллирующей системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений большой размерности вида ф'(£) = Л(4)0(£), к которой приводится исходное уравнение путем аппроксимации тем или иным способом оператора А(£) конечномерным разностным оператором Л(^) = и в которой
конечномерный вектор-столбец ф{£) аппроксимирует искомую функцию х{£), к последовательности более простых задач того же вида, но меньшей размерности. Тем не менее на практике встречаются задачи, при решении которых низкий порядок аппроксимации по t вынуждает выбирать крайне мелкое разбиение по этой переменной для приемлемой точности приближенного решения, и в которых было бы желательно применение методов с более высоким порядком аппроксимации для более рационального использования вычислительных ресурсов. Такая ситуация, в частности, возникает при описании взаимодействия атомных систем с очень интенсивным электромагнитным полем путем численного решения нестационарных уравнений Шредингера и Дирака [68, 69].
Одним из подходов, позволяющих получить более высокий порядок аппроксимации по t, является непосредственное применение методов высокого поряд-

ка для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений к системе ф'{€) = А(ф)ф(£). Вследствие ее жесткости наиболее подходящими методами здесь оказываются одношаговые неявные методы Рунге-Кутты (РК), обеспечивающие устойчивость процесса интегрирования [18, 43]. Однако, при использовании этих методов существенным образом увеличивается трудоемкость интегрирования этой системы, т. к. увеличивается размерность матриц, которые необходимо обращать на каждом шаге по t. Это является весьма неудобным обстоятельством при практическом применении этих методов в рассматриваемом случае.
Пусть Ь] = £о +]т, j = 0,1, 2,..., п — 1 есть сетка с шагом г по переменной Р Приближенное значение ф]+1 вектор-функции ф(ф) в точке tj+1 по заданному значению фз с помощью р-стадийного РК метода для линейной системы уравнений находится из формул

Ф]+1 = Фз 4“ Т ^ ^ Ьт^-тУт-,

^ ^ ^т'}" Ут! ~ ФjJ ^ (^)

Конкретный РК метод с порядком 9 < 2р задается набором абцисс ст, коэффициентов Ьт и матрией Батчера атт', т,т' = 1,2,..., р. В соотношениях (4) через I обозначена единичная матрица, 5тт> - символ Кронекера, а Ат = Л(4^ + стт). Матрица агат< в методах высокого порядка, например в методах Гаусса-Лежандра, Радо и Лобатто порядков 2р, 2р — 1 и 2р — 2 соответственно [43], содержит очень мало нулевых элементов. Таким образом, если размерность матрицы Л(4) составляет N х IV, то на каждом шаге приходится решать, вообще говоря, систему алгебраических уравнений (1) размерности рЛ^
С другой стороны, при независящей от 4 матрице Л(1) = Л каждый шаг в РК методах сводится к вычислению функции устойчивости г (г) данного метода от тЛ, т. е.
ф^+1 = г(тА)ф,, ^ = 0,1,Г2 — 1.
Функция г (г) неявного р-стадийного метода порядка
Учитывая, что ||ехр{£Л}|| < при полуограниченности той со, получаем оценку для всех г < е/со

:р{гЛ}ж - ]Г ^АкЛ < с"т9+1||Л«+1л||, с" = е£/(д + 1)!. (1.3.23)

Таким образом, неравенства (1.3.21) и (1.3.23) вместе с неравенством треуголь-
ника приводят к
Я а-к

|| ехр{тА}х — г(тА)х\ < \г(тА)х — — Акх\

4- II ехр{тА}х - ^ --Акх\ < (с' 4- с")тд+1 \Ая^х1 (1.3.24)

что и требовалось доказать. □
Примерами рациональных функций, имеющих порядок д касания с ег в точке г = 0, т. е. удовлетворяющими условию (1.3.17), могут служить аппроксимации Паде экспоненты Рпт(г), п + т = д [17]
■А' (п + т — /г)! гк
^—'(п — к) (п + т) к
Рпт(г)= ^к=0------------------------——р (1.3.25)
Ет (п + т — к) (—г)
к (т — к) (п + т)! к
Однако условие (1.3.3) для Рпт{2) выполняется лишь для 0 < т — п < 2 [34, 35].
Другим интересным примером являются однопараметрическое семейство рациональных функций Еп(г), имеющих единственный полюс гг-го порядка в точке г = у,
'Л* л ^ лк
= с1-3-26)
Здесь через Ьп(х) = обозначен полином Лаггера степени п. Функция
Д„(г) аппроксимирует экспоненту в точке г = 0 с точностью 0(гп+1) при всех значениях параметра 7, и с точностью 0(гга+2), если 7 является одним из решений уравнения
24+1(7) = 0. (1.3.27)