Аналитические методы в экстремальных геометрических задачах на евклидовой сфере

• Автор: Куклин, Николай Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 98 с. : ил.

Содержание

Список обозначений

Введение

1 Двойственность в задаче Дельсарта

1.1 Прямая и двойственная задачи Дельсарта. Теоремы двойственности

1.2 Сведение задачи к системе нелинейных алгебраических уравнений

1.3 Оценки параметров экстремальных функций и мер

2 Алгоритмы и их реализация

2.1 Интервальная арифметика и интервальная теорема Штурма

2.2 Сведение полиномиальных задач бесконечномерного линейного программирования к задачам SDP

2.3 Решение задачи Дельсарта с помощью построения базиса Гребнера

2.4 Программа в Maple построения базиса Гребнера системы (1.2.2)
3 Задача Дельсарта в конкретных размерностях
3.1 Задача Дельсарта в трехмерном пространстве

3.2 Результаты для новых больших размерностей
3.3 Решение задачи Дельсарта в размерности 173
Список литературы
Публикации автора по теме диссертации

Список обозначений
|ІУ| — мощность множества ІУ;
Z — кольцо целых чисел;
2+ — множество целых неотрицательных чисел;
((2 — поле рациональных чисел;
= {€ = (6 > Ь, ■ ■ ■ , £т) | 6, &> • • • , £т є К} — т-мерное евклидово пространство;
Сп = {г = Сі, 22, • • • і гп) | 22,..., гп є С} — п-мерное унитарное
пространство;
тт — контактное число т-мерного евклидова пространства, то > 2;
{Р^т)}?_о ~ система ультрасферических многочленов степени
к є 2+, ортогональных на отрезке [—1,1] с весом ф(і) = (1 — і2)а, а = (то — 3)/2, т ^ 2, нормированных условием і^т^(1) = 1;
{//с}“=о — коэффициенты (Фурье) функции /, суммируемой с весом ф на отрезке [—1,1] по системе 0;
С (К) — банахово пространство вещественнозначных непрерывных функций на компакте К с [— 1, 1] с равномерной нормой;
Фт с С— 1, 1] — множество функций с суммируемым рядом коэффициентов по многочленам {-Р^}“=0;
Тт с Фт — множество допустимых функций в задаче Дельсарта, то ^ 2;

его корни через to,t,..., tp+r = 1/2, tp+r+1 = 1; с каждым из этих корней ti свяжем многочлен Lüi(t) = ipo(t) ■ (t — ti)_1 и число
Li = S ■ nwi)Ô+ Yj °^)к) • O^i^p + r+1. (1.2.4)
^ keN '
Помимо того, для к > d введем числа
і / р+г
Gk = Jl + 'ÊLiPjTti)). (1.2.5)
' г=0 '
Теорема 1.2.1. Пусть р є М* — экстремальная мера задачи (1-1.4) и /е Т' - экстремальный многочлен типа (d, N,p,r). Тогда существует решение системы (1.2.2), которое удовлетворяет условиям
(Cl) a(t)^0,te[-l, і];
(С2) справедливы неравенства > 0 и од ^ 0 для всех k ^ 1;
(СЗ) для всех 0 ^ г =5 р + г выполняется неравенство ^ 0;
(С4) Gk > 0 для к е N-,
(СБ) Gk ^ 0 для всех к > d
(С6) многочлен С имеет г простых нулей — 1 < tp < ... < tp+r- <
(С7) выполняются равенства S = ит = /(1);
(С8) / = сг/сто;
(СЭ) справедливо равенст.во

(L2-6)

где ô(t) есть дельта-мера Дирака, сосредоточенная в тючке t.