Исследование линейных многошаговых методов

• Автор: Кульчицкая, Ирина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 166 c. : ил

Глава I. Методические вопросы построения линейных
многошаговых методов (ЛММ)
§ 1.1. Порядок, устойчивость и сходимость ЛММ
§ 1.2. Методы для решения жестких задач
1.2.1. Явление жесткости
1.2.2. Специфика понятия устойчивости при решении жестких задач
1.2.3. Особенности ЛММ для жестких задач
§ 1.3. Методы в форме Нордсика и их эквивалентность

Глава 2. Построение методов универсального характера,
ориентированных на решение жестких и нежестких
задач
§ 2.1. Принципы построения
§ 2.2. Построение к-шаговых методов порядка к
2.2.1. А-устойчивые методы 2-го порядка
2.2.2. Жестко уотойчивые методы 3-го порядка
2.2.3. Жестко устойчивые методы 4, 5 и 6-го порядков
§ 2.3. Построение -шаговых методов порядка &-•
Глава 3. Алгоритмизация построенных ЛММ и их тестирование
§ 3.1. Программная реализация построенных методов с
использованием алгоритма выбора шага и порядка

§ 3.2. Численное решение смешанных дифференциальноалгебраических систем вида Р(у'£6)~ О
др дг
с разреженными матрицами
3.2.1. Алгоритм решения дифференциально-алгебраических систем
3.2.2. Особенности решения больших систем

Р ((/',(,7,0=0 с разнеженными матрицами частных производных и -ур
§ 3.3. Принципы тестирования ЛММ
§ 3.4. Результаты численных экспериментов
Глава 4. Математическое моделирование нестационарной
радиационной электропроводности полимеров
§ 4.1. Физико-математическая модель Роуза-ФаулераВайсберга (РФВ)
§ 4.2. Численный алгоритм решения уравнений модели
и его тестирование
§ 4.3. Анализ температурной зависимости радиационной электропроводности и сравнение с экспериментом
Заключение
Литература

Настоящая работа посвящена исследованию линейных многошаговых методов (ЛММ) решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).
В этот класс входят методы Адамса, которые, наряду с методами Рунге-Кутты, получили наиболее широкое распространение для численного интегрирования ОДУ с использованием ЭВМ. Однако в 50-х годах было отмечено [59], что эти традиционные методы пригодны не для всех задач. Для некоторых типов ОДУ, названных жесткими, они требуют шага, величина которого очень мала по сравнению с длиной отрезка интегрирования, неомотря на достаточно медленное изменение искомых функций. Такие уравнения описывают физические модели с сильно различающимися временными постоянными. Источники их возникновения и свойства подробно описаны в [35].
С расширением множества решаемых задач жесткие системы ОДУ все чаще стали встречаться в научных исследованиях, что потребовало разработки для них эффективных методов, удовлетворяющих сформулированным в [62,75,132] специальным условиям устойчивости. Однако, как оказалось, наилучшие в этом смысле методы значительно уступают непригодным для жестких задач традиционным методам по тем свойствам точности и устойчивости, которые определяют эффективность метода при решений нежестких задач, а часто и по вычислительным затратам на один шаг интегрирования (что видно из сопоставления одношаговых методов для жестких задач - неявных методов Рунге-Кутты [51] или семейства методов Розенброка [123], представители которого получены, например, в [2,24,29,55,123], с явными методами Рунге-Кутты для нежест-

* (*-фт[икМ:~’>?(%■»- ,-2 и
Г* '>
В формулы для с^к ,введая коэффициент а0 = &
В [120] доказывается, что для полученного ЛММ (1.35) посторонние корни многочлена р (Т) совпадают с собственными значениями матрицы А
Докажем более общее утверждение.
Теорема І.І. Если р-/)А , то для метода (1.35) многочлен устойчивости р (*?)+р&(Т) , деленный на 1~£ор , совпадает с
характеристическим многочленом матрицы $ :
7777 [?(Т)+р<г(Т)]-с!еі (0-т?), (1-36)
а, следовательно, корни многочлена устойчивости совпадают с собственными значениями матрицы $
Доказательство.
Рассмотрим сначала с/е і ($-рУ). Его можно представить в вида суммы:
«а* (0- ?у) - а, <■ ^ зг,
где - определители:
а,* 1-Г
0
- (1-^) ■det(M'fУ)^i/e^[У+^ (е-{,{£]=
- (1-Г) ■ оЫ (н-гЭ) ■[и