Бикомпактные разностные схемы и численная диагностика особенностей

• Автор: Корякин, Павел Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 92 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Бикомпактные разностные схемы
1.1 Построение схем
1.1.1 Метод прямых
1.1.2 Пространственная аппроксимация
1.1.3 Схема точности 0{Ь?)
1.1.4 Схема точности 0(/?4)
1.1.5 Интегрирование по времени
1.2 Исследование устойчивости
1.2.1 Схема точности 0{Ь?)
1.2.2 Схема точности 0{к4)
1.2.3 Иллюстрация спектров
1.2.4 Функция устойчивости
1.3 Расчёты
1.3.1 Пример расчёта по схеме точности 0(т2 + /г2).
1.3.2 Пример расчёта по схеме точности 0(т2 + Н4).
1.4 Двумерные задачи
1.4.1 Треугольная сетка
1.4.2 Произвольные сетки
2 Диагностики особенностей точных решений при
численном интегрировании дифференциальных
уравнений
2.1 Предыстория и постановка задачи
2.2 Разностные схемы интегрирования ОДУ
2.3 СКОБ для задач с особенностями точного решения
2.4 Результаты расчётов задач с сингулярностью
2.5 Диагностика сингулярности при расчётах с контролем
точности

3 Интегрирование системы уравнений , диффузионнодрейфовой модели полупроводника 1
3.1 Полуроводники
3.1.1 Процессы травления и легирования
3.2 Фундаментальная система уравнений полупроводника и
диффузионно-дрейфовое приближение
3.3 Бикомпактная аппроксимация для диффузионнодрейфовой модели
3.4 Результаты расчётов
3.4.1 Статическая вольт-амперная характеристика
3.4.2 Динамическая вольт-амперная характеристика
Заключение
Приложение
Список литературы

Введение
Компетентность вычислителя обратно пропорциональна мощности его ЭВМ.
Автор не известен.
Настоящая диссертационная работа посвящена двум актуальным проблемам численных методов. Первая рассматриваемая проблема -это численное интегрирование дифференциально-алгебраических систем уравнений в слоистых средах. Вторая - диагностика особенностей (определение их положения и типа) точных решений при численном интегрировании дифференциальных уравнений.
Целями данной работы было, во-первых, разработать надёжный численный алгоритм, позволяющий решать широкий круг задач в слоистых средах. Во-вторых, разработать методику, позволяющую при численном интегрировании дифференциальных уравнений контролировать точность получаемого решения, диагностировать наличие и определять положение и тип особенности точного решения. Протестировать разработанные алгоритмы на реальных инженерных задачах.
Практическая ценность работы. Предложенный в работе подход к разностной аппроксимации пространственных производных позволяет создавать схемы, сохраняющие свой теоретический порядок точности на любой неравномерной сетке. Схемы, записанные в соответствии с предложенным методом также сохраняют порядок точности и в слоистых средах при условии, что сетка задаётся так, что каждая точка, в которой свойства среды терпят разрыв, является узлом сетки.
Также предложенный в работе алгоритм диагностики особенностей точных решений позволяет создавать программы для численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, которые помимо получения решения контролируют точность (апостериорная оценка), определяют наличие, положение и тип особенностей точного решения, если таковые имеются.

1.4.2 Произвольные сетки.
Приведём также вывод бикомпактных схем для двумерных задач на сетках, состоящих из произвольных многоугольников. При чем не будем • требовать даже равенства числа сторон у разных ячеек сетки.
Возьмём произвольный Р-угольник и занумеруем его вершины {хр,ур, 1 < р < Р), нумеруя подряд в одном направлении. Введём центр тяжести и середины сторон

Хо р Х2 Хр, Уо -р Ур
р= 1 р=
Хр+1/2 — 2 Хр+ х) , Ур+1/2 = 2 (Ур Ур-щ) •
Для единообразия формул будем полагать жр+1 = х. Тогда легко обобщить разностные схемы на случай произвольных Р угольников:
ир+1 - ир = 2^^ [(Шр+1 + Юр) (хр+1 - Хр) + 0р+1 + Ур) (ур+1 -Ур)}, 1 <Р<Р Р ”р
р1 Е = т, £ [Ор+1 + шР) (Ур+1 - Ур) - Ор+1 + Ур) (жр+1 - Жр)] + /о
Р=1 Р=
Площадь многоугольника можно определить так. Возьмём внутри него любую точку, например, (жо, Уо), и разобьём его на треугольники. Суммируя их площади с учётом знака, получим:

•■5 =д X/ [0е? “ ж°) ^г>+1 - У°) “ ^р+1 “ ж°) - Уо)] =

=д ^ ^ (жрУр+1 — Хр+хУр).

Формула применима даже к невыпуклым многоугольникам, при этом в пределах одного многоугольника возможно появление треугольников с площадями разных знаков.
Аналогичные схемы легко записываются и для трёхмерных задач.