Оптимальные проекционно-сеточные методы для краевых эллиптических задач с особенностями на границе

• Автор: Тимербаев, Марат Равилевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 247 с.

Обозначения
1 Предварительные результаты: пространства с нормой графика, пространства вектор-функций, теоремы вложения
1 Пространства с нормой графика
2 Интегральный оператор Харди
3 Теоремы вложения весовых пространств Соболева векторфункций
2 Вырождающееся дифференциальное уравнение второго порядка в гильбертовом пространстве
1 Весовые оценки решения уравнения (2.1) с условием Неймана
в нуле
1.1 Необходимые условия существования решения задачи Неймана
1.2 Весовые оценки решения уравнения со скалярными коэффициентами
1.3 Весовые оценки решения задачи (2.4) с операторными коэффициентами
1.4 Компактно возмущенная задача
2 Весовые оценки решения задачи Дирихле
2.1 Пространство решений задачи Дирихле

2.2 Случай постоянных операторных коэффициентов
2.3 Локальные априорные оценки
2.4 Глобальные априорные оценки и теоремы о разрешимости задачи (2.19)
2.5 Компактно возмущенная задача Дирихле
3 Граничные свойства решения абстрактного вырождающегося уравнения. Неоднородные граничные условия
3.1 Однородная задача Дирихле
3.2 Граничная задача с неоднородными условиями Дирихле
3.3 Задача с неоднородным граничным условием Неймана
в точке вырождения
3.4 Теорема о промежуточных производных для функций
из Ыу^р{ТХ,Х)
3 Весовые оценки решений эллиптических уравнений в частных производных, вырождающихся на границе
1 Весовые оценки решений задач Дирихле и Неймана в цилиндрической области
1.1 Однородное условие Дирихле на Г
1.2 Неоднородное условие Дирихле на Г
1.3 Условие Неймана на Г
2 Оценки решений вырождающихся эллиптических задач в
ограниченной области с гладкой границей
2.1 Весовые классы функций
2.2 Замена переменных в дифференциальном выражении
2.3 Оценки решения задачи Дирихле в ограниченной области класса С2

4 Аппроксимация конечными элементами в весовых пространствах Соболева
1 Основные понятия и обозначения
1.1 Теоремы вложения пространств Соболева с весом
1.2 Основные понятия и определения теории метода конечных элементов
2 Оператор проектирования на элементе
3 Оператор проектирования на пространство конечных элементов
4 Оптимальность аппроксимации конечными элементами
5 Оптимальные аппроксимации краевых задач с особенностями на границе
1 Двухточечная краевая задача Дирихле для вырождающегося уравнения 4-го порядка
2 Аппроксимация краевых задач Дирихле и Неймана для вырождающихся эллиптических уравнений 2-го порядка
2.1 Задача Неймана в прямоугольной области
2.2 Задача Дирихле в прямоугольной области
2.3 Задача Дирихле в области с криволинейной границей
2.4 Оценки погрешности в весовых Т2-нормах
2.5 Результаты численных экспериментов
3 Аппроксимация краевой задачи Дирихле для эллиптического уравнения 2-го порядка, вырождающегося в угловой точке
3.1 Оптимальные схемы МКЭ, основанные на сгущении
конечноэлементной сетки
3.2 Оптимальные схемы МКЭ, основанные на мультипликативном выделении особенности

числа /х положим
{ если £ < в
кр(8,г) = <
( 0, иначе.
Интегральный оператор Км с ядром к^, действующий по формуле

АДфз) = J кІ1(8,ї)и(ї)(П = 5М_1 у £_/ігх(і)сЙ, (1.4)
т о
называется интегральным оператором Харди.
Теорема 1.5. Оператор Ки ограничен в І/2,7(Т;Х) тогда и только тогда, когда 5 = 1/2+7 — /х>0. При этом
\КЛ і2,7^2і7
Доказательство. Необходимость. Если определен на Ь2П(Т;Х), то і7_/і Є £12(0,5) при в > 0, что равносильно неравенству 1/2 + 7 —/х > 0. Достаточность. Пусть 5 = 1/2 + 7 — М > 0. Положим (9(5) = 527_/і. Тогда
Кф0(5) = 5^*_ 1 [
2(7 —д) + 1'

По теореме 1.4 для произвольной функции г/, е Тгл (Т; X) имеет место неравенство
Р“7А>||2 < Н_||Г7М||2 = ±||/г7хх||2,
причем константа 1 /4 здесь неулучшаема. +
Лемма 1.6. Пусть и,и' € £/1дос(Т), г»,г?' € £/1дос(Т; X), причем ш1', и'и € Ь{ТХ). Тогда
1) функция их> (после возможного изменения на множестве меры нуль) абсолютно непрерывна на Т;
2) если для некоторого а € [0,г] существует предел Птм(^), равный нулю или бесконечности, то Нт и(р)и(р) = 0.
Ь—*а

і—>а