Конформные отображения прямоугольных многоугольников : численно-аналитический метод

• Автор: Григорьев, Олег Александрович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 86 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Обоснование метода
1.1 Основные сведения об абелевых интегралах
1.2 Вычисление конформного отображения
1.3 Система уравнений на вспомогательные параметры
1.4 Модель пространства параметров для п=2,
2 Вычислительный алгоритм
2.1 Пространства модулей многоугольников
2.2 Влияние скучивания на вспомогательные параметры
2.3 Модулярные преобразования
3 Численные эксперименты и приложения
3.1 Генерация ортогональных сеток. Сравнение с 8СРАСК
3.2 Вычисление гармонических векторных полей
3.3 Численные эксперименты по сравнению с Ат2Б
3.4 Исследование устойчивости течений
Заключение

Введение
Объект исследования.
Численные методы конформных отображений - достаточно старый раздел вычислительной математики, восходящий к работам Римана [39] и Кёбе [30]. Тем не менее, этот «нелюбимый пасынок численного анализа», по выражению Тобина Дрисколла [12], долгие годы представлял собой разрозненный набор методов, точность и устойчивость которых a priori не гарантировалась и подтверждалась (или опровергалась) в основном экспериментально. Лишь в 1970-х годах в работах [21,25] появилось понятие кроудинг [73] (crowding phenomenon) - скучивание точек, и была признана центральная роль этого явления в вычислительных проблемах, преследующих все численные методы конформных отображений (примечательно, что в первой посвященной им монографии [31] это явление даже не было упомянуто).
Основной задачей теории является задача Римана, заключающаяся в следующем. Дана жорданова область 12 & С (т.е. <912 — жорданова кривая). Необходимо найти обратимое конформное отображение / этой области на единичный круг В. Поскольку искомая функция взаимно-однозначна, часто ставится также обратная задача: найти отображение F : В <-> 12, обратное к /, дающему решение задачи Римана.
Базовый факт двумерной теории конформных отображений заключается в том, что любая комплексно-аналитическая функция g(z) : 12 <->■ С, взаимнооднозначная на свой образ, является конформным отображением, т.е. сохраняет углы между кривыми. Действительно, g'(z) ф 0 Vz <Е 12 (прямое следствие

взаимной однозначности), а значит, д(го + Дг) = д(г0) + |5,(20)|егагё^/(г°))Д2 +
о(|Дг|2), то есть в малом д(г) действует как композиция сдвига, поворота и
гомотетии, и следовательно, конформно.
Разрешимость задачи Римана гарантируется следующей теоремой, которая также дает достаточное условие единственности такого решения.
Теорема 0.1 (Риман). Для любой односвязной области П с границей, состоящей более чем из одной точки, существует взаимно-однозначное конформное отображение
/ : 12 I—У К5. (1)
Кроме того, если задать точку гд £ 12 так, что
/Ы = 0, /'(го) > 0, (2)
то такое отображение будет единственным.
Классическое доказательство теоремы 0.1 [39] было неконструктивным. Первое конструктивное доказательство [30] дало и первое семейство численных методов, известных как методы растяжения. [26,38]
Для построения численных методов решения задачи Римана чрезвычайно важна следующая теорема, дающая также более удобное условие единственности.
Теорема 0.2 (Каратеодори-Осгуд). Пусть О — жорданова область, и пусть / — конформное отображение 12 на О. Тогда / может быть продолжено до взаимно однозначного отображения на замыкание 12 области П. Кроме того, всегда существует и единственно такое конформное отображение 19 на О, что его продолжение переводит любые три точки на <912 в любые три точки на с® (при согласованности ориентаций).
В дальнейшем продолжение решения задачи Римана (1) на П мы будем обозначать через /, а продолжение решения обратной задачи на О - через К.

Теорема 1.9. Пусть га и гь - прообразы точек гиа Є дР% и>ь Є дРі соответственно. Тогда п(г„) = Vа+г^, и(-гь) = уь + ї^г, где уа Є М3/23, уь Є К3/Х3, П/; - к-ый столбец Ц причем V;!, уь и мнимая часть матрицы периодов О. для Р2 удовлетворяют системе уравнений

= о, С1-24)

Доказательство. Система содержит 12 вещественных уравнений (в самом деле, в первой строке (1.24) записано три уравнения, а во второй - два), связывающих 12 вещественных неизвестных.
Первые три (линейных) уравнения получаются при интегрировании дифференциала 1.3 вдоль ковещественных овалов. Также из интегрирования вдоль вещественных овалов от Р3 до Ра и от Р4 до Ръ получаются седьмое и десятое уравнение, соответственно.
Шестое уравнение задает условие (известное как условие Мамфорда, [37]), которое при некоторых дополнительных условиях невырожденности, рассмот-

^18 + Л45 _ ^67 ^ — /145 Лб

Л-18 + /і45 — /іб
М|Н(г|Ш)

/г 78 — Ни — Л-56 Нг8 — Л-
Н78

ЯД Г 1001
-(г|Ш)

!=уа+^-
--Ь+ТІ
в [“] (0|Ш)
2г(С, Уа) — Нб7 + Л-45 + Л, 9 [110] (уа + ^1^) ^ [іоі] (УА + іЧг^) 2г(С, Уь) — Лб7 + Л-45 + Нь