Оценка погрешности кубатурных формул с пограничным слоем и узлами на решетке в весовых пространствах Соболева

• Автор: Францев, Григорий Львович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Улан-Удэ
• Количество страниц: 99 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Линейные и периодические функционалы погрешности

§ 1.1. Пространства У"(Еп), 1К(Н), И^(Еа), Ь3(Еп),

§ 1.2. Вариационная задача кубатур в пространстве Г6.

5 1.3. Условия вложения Г. в С

§ 1.4. Экстремальная функция линейного функцилнала погрешности

§ 1.5. Норма линейного функционала погрешности

§ 1.6. Периодический функционал погрешности

ГЛАВА II. Оценка нормы функционала погрешности
§ 2.1. Оценка сверху нормы функционала погрешности в пространстве Соболева с весом Кп)(Еп)
§ 2.2. Оценка снизу нормы функционала погрешности в пространстве Соболева с весом ЬК(Еп)
§ 2.3. Пространства и Ьг^кр(Еп)
ГЛАВА III. Квадратурные формулы
§ 3.1. Квадратурные формулы в весовых пространствах
§ 3.2. Квадратурные формулы с переменным шагом
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Теория кубатурных формул сложилась как новое направление математики в 60-ые годы в результате исследований С.Л. Соболева и прочитанного им курса лекций по теории кубатурных формул в Новосибирском государственном университете в 1965-66 годах.
В связи с появлением в 1974 году монографии ’’Введение в теорию кубатурных формул” С.Л. Соболева, эта область математики, предметом которой является приближение интегралов формулами механических квадратур, превратилась из набора отдельных формул для вычисления интегралов в новую математическую дисциплину, тесно связанную с другими разделами математики: анализом, теорией функции, функциональным анализом, теорией дифференциальных уравнений, алгеброй, теорией чисел.
Сначала остановимся на некоторых понятиях и проблемах теории кубатурных формул. Отмечается, что кубатурные формулы отличаются от одномерных двумя особенностями:
а) бесконечным многообразием многомерных областей интегрирования;
б) быстрым ростом числа узлов формулы с увеличением размерности пространства.
В настоящее время быстрые темпы совершенствования ЭВМ с увеличением объема памяти и скорости вычисления приводят к возмож-

ности использовать кубатурные формулы при вычислении кратных интегралов количеством узлов порядка десяти тысяч и более.
Поэтому важным вопросом при больших численных расчетах становится построение асимптотически оптимальных кубатурных формул в различных функциональных пространствах.
В диссертационной работе основной целью является обоснование асимптотической оптимальности кубатурных формул с пограничным слоем в весовых пространствах Соболева.
Пространства Соболева являются, в настоящее время, одним из фундаментальных понятий теории дифференциальных уравнений с частными производными. Впервые введенные в математический обиход в 30-е годы в результате работ С.Л. Соболева, оформленных им позднее (1950 г.) в виде монографии [50], они получили свое дальнейшее развитие и естественное обобщение в работах целого ряда математиков.
В данной работе основным объектом исследования являются формулы приближенного вычисления многомерных интегралов в весовых функциональных пространствах Соболева. Область интегрирования П при этом ограничена кусочно гладкой поверхностью конечной площади в п-мерном евклидовом пространстве Еп. В остальном она произвольна. Для приближенного вычисления интеграла по области П предлагается использовать кубатурные формулы, то есть приближенные равенства вида
Точки хк и параметры с* называют соответственно узлами и коэффициентами кубатурной формулы. Распределение узлов ац. внутри О

Оба приведенных выражения для константы СГП)П эквивалентны. Это вытекает из известного соотношения
Г(п/2 - т)Т(т - п/2 + 1) = (-1)(п~1)/2+ттг.
В пространстве четной размерности п имеются два разных выражения для С(х).
При 2т < п

С(х) = Ст,пх2т~п, (1.3.3)
(-1)шГ(п/2 — ш)
а при 2т > п
с постоянной
т'п Г(т)22т7г”/2 ’
С(х) = Ст>п|ж|2т_п 1п |ж| (1.3.4)
(_1)(п-2)/
^ т.п
Г(т)Г(т — п/2 + 1)22т 17г"/2 Каждая из форм записи константы Ст>п в равенствах (1.3.3) и (1.3.4) применима либо только при 2т > п, либо только при 2т < п.
При нечетном п или при |а| > 2т — п производная порядка а от функции С(х) удовлетворяет оценке
|£>“С(ж)| < С|х|2т-”-1“1,
где постоянная С не зависит от х. Если же п четно и |а[ < 2т — п, то справедливо следующее неравенство: