Численные методы решения краевых задач для линейных ОДУ второго порядка с малым параметром при старшей производной

• Автор: Федоров, Дмитрий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 84 с.

ГЛАВА 1. ИСЧЕРПЫВАНИЕ ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЁВ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ, ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ В УРАВНЕНИЕ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТА

2. О ГЛАДКОСТИ ОБОБЩЁННОГО РЕШЕНИЯ

3. ОПИСАНИЕ МЕТОДА

4. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ИЗ ПРОСТРАНСТВ СОБОЛЕВА

5. СВОЙСТВА СПЛАЙНОВ ЭРМИТА

6. СВОЙСТВА АСИМПТОТИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ

7. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ

8. ЗАМЕЧАНИЯ

ГЛАВА 2. АДДИТИВНОЕ ВЫДЕЛЕНИЕ ПОГРАНСЛОЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ, ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ В УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

2. ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЁННОГО РЕШЕНИЯ
3. ОПИСАНИЕ МЕТОДА
4. СУЩЕСТВОВАНИЕ ПРИБЛИЖЁННОГО РЕШЕНИЯ
5. СВОЙСТВА АСИМПТОТИКИ
6. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЕ МЕТОДОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ НА ОСНОВЕ ТОЧНОЙ СХЕМЫ ТИХОНОВА-САМАРСКОГО
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
2. ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ
3. ТЕОРЕМА СРАВНЕНИЯ И ПРИНЦИП МАКСИМУМА
4. СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ
5. ОПИСАНИЕ МЕТОДА
5.1. ПОСТРОЕНИЕ СЕТКИ
5.2. АППРОКСИМАЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ УРАВНЕНИЯ
5.3. ПОСТРОЕНИЕ ТОЧНОЙ СХЕМЫ
5.4. АППРОКСИМАЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТОЧНОЙ СХЕМЫ

5.5. ПОСТРОЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ЛОКАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
5.6. ПОСТРОЕНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ С ЭКСПОНЕНТАМИ
6. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
6.1. ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ЗАМЕНЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ
6.2. ОЦЕНКА СНИЗУ ДИАГОНАЛЬНОГО ПРЕОБЛАДАНИЯ
6.3. ОЦЕНКИ ФУНКЦИИ ГРИНА ПРЕДОБУСЛАВЛИВАТЕЛЯ
6.4. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ РЕШЕНИЯ ЛОКАЛЬНЫХ ЗАДАЧ
6.5. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
7. ЗАМЕЧАНИЯ
8. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ
8.1. ОПИСАНИЕ
8.2. РЕЗУЛЬТАТЫ
8.3. КОД ПРОГРАММЫ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Диссертация посвящена разработке и оптимизации численных методов решения краевых задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной. Уравнения рассматриваются на отрезке фиксированной длины. В качестве краевых условий берётся равенство нулю неизвестной функции на границах отрезка. Задачи, в которых в качестве краевых условий требуется, чтобы функция принимала заданные значения на концах отрезка, сводятся к задачам выбранного нами типа заменой неизвестной функции на новую, отличающуюся от исходной на линейную функцию, удовлетворяющую требуемым краевым условиям.
Рассматриваемые нами задачи являются сингулярно возмущёнными. Это значит, что их решения имеют особенности и не могут быть с достаточной точностью приближены на всей области решениями задач для уравнений, полученных из исходных обнулением малого параметра.
Решения рассматриваемых нами задач могут иметь большие по модулю производные в узких зонах, называемых пограничными или внутренними слоями, в зависимости от того, где они расположены. Вне этих зон решения меняются плавно. При этом чем меньше параметр при старшей производной, тем уже пограничные или внутренние слои и тем больше по модулю производные решений в них.
Краевые задачи для дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной возникают во многих областях науки, например, в гидродинамике вязкой жидкости, при моделировании полупроводниковых устройств (см., например, [32], [13]), или в химической кинетике. Мы изучаем одни из их простейших представителей. Указанные выше свойства решений приводят к тому, что для достижения приемлемой точности с помощью классических численных методов при малых значениях параметра при старшей производной может потребоваться очень большое число узлов сетки. Поэтому

(5.18) в (5.17) и учитывая, что Xj является корнем уравнения (5.12), получаем равенство
Чг 2 ^+2 О + 2)0 +1)2* + (2?2 А.у. + Ч1 )Х ^+] (* + 1)г! = г'.
5=0 5
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г в левой и правой части этого равенства, получаем, что
г,+1 = ((/ ++«?, )) *, V, = ~{я(2ц2Х] + д^У' ?2^+,ф +1) при 1 < л < /.
Заметим, что 2ч2Х^ + д, ^ 0. В противном случае, подставляя X = -ад“‘/2 в
(5.12), получаем, что дискриминант £> = 0. Но это не так, поскольку
Э = Н~2(Аг +4в2В)>0.
С учётом (5.8), (5.14), (5.15) и (5.17) положим
и?,т,„ X (вгМ ), У,/ ■
1=0 1
6. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
6.1. ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ЗАМЕНЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ
В данном разделе оценивается составляющая погрешности, являющаяся следствием замены коэффициентов их интерполянтами. Сформулируем сначала вспомогательную лемму, характеризующую аппроксимационные свойства интерполяционных многочленов Лагранжа.
Лемма 3.2. (доказательство см., например, в [21], гл. 3, §3, п. 6) Пусть А — некоторый отрезок длины |Д|, юеСш(Д). Тогда для произвольного <7 = 0 т -1 имеет место неравенство
|(Ш-«Ш,Ш,Д)Г||с(ч фМиДГ
При й - 0 эта оценка может быть уточнена (см. [21]), однако для наших целей её достаточно.
Теперь перейдём к основному утверждению данного пункта.