Монотонные бикомпактные схемы для уравнений гиперболического и параболического типов

• Автор: Михайловская, Маргарита Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 92 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Бикомпактные схемы для уравнений гиперболического типа
1.1. Бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса
1.2. Бикомпактные схемы для квазилинейного гиперболического уравнения
1.3. Бикомпактные схемы для многомерных задач
ГЛАВА 2. Бикомпактные схемы для уравнений параболического типа
2.1. Компактная схема первого порядка аппроксимации по времени для линейного уравнения
теплопроводности
2.2. Компактные схемы повышенного порядка аппроксимации по времени для линейного
уравнения теплопроводности
2.3. Компактная схема для квазилинейного уравнения теплопроводности
ГЛАВА 3. Применение бикомпактных схем к решению задач газовой динамики
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ
Уравнения и системы уравнений гиперболического типа составляют значительную часть математических моделей, используемых для решения разнообразных прикладных задач [1]. Линейное уравнение переноса является одним из фундаментальных уравнений математической физики [40], которое активно используется для решения широкого круга задач о распространении электромагнитного излучения в различных средах. В их число входят задачи переноса излучения в атмосфере, задачи аэрокосмического мониторинга природной среды и дистанционного зондирования атмосферы планет [41], задача о зондировании биологической ткани лазерным импульсом [42], расчет полей нейтронов, порожденных активной зоной ядерного реактора [43]. Важнейшим свойством, которому должны удовлетворять разностные схемы сквозного счета для; численного решения данного класса задач, является их монотонность [1]. Другое важнейшее требование к схемам сквозного счета - свойство консервативности [4]. Созданию высокоточных и экономичных разностных схем для уравнения переноса посвящено огромное число работ (см., например, обзоры [1, 35, 44]).
Существует несколько способов повышения порядка аппроксимации схем по пространственным переменным. Эти способы можно условно классифицировать следующим образом: использование многоточечных шаблонов; использование дифференциальных следствий исходных уравнений; применение компактных аппроксимаций производных [5]; использование комбинаций сеточных функций, полученных на разных сетках, например метод Ричардсона [32, 33]. Существуют также подходы, в которых указанные способы объединены. Например, в хорошо известной среди газодинамиков-вычислителей работе [34] при построении схемы четвертого порядка аппроксимации на двухточечном шаблоне для скалярного нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка
использовались как компактная аппроксимация четвертого порядка, так и дифференциальные следствия исходного уравнения.
В настоящее время среди схем высокого (выше первого) порядка аппроксимации большую популярность получили компактные схемы [5-8]. При построении таких схем используются дифференциальные следствия исходных уравнений, что позволяет при разностной аппроксимации производных использовать небольшое число точек шаблона (компактный шаблон). Порядок компактной аппроксимации больше или равен числу точек шаблона [5, б].
В недавней’ обзорной статье [45], посвященной проблеме, построения монотонных разностных схем для уравнений гиперболического типа, в частности, линейного уравнения переноса; отмечено, что перспективным направлением разработки монотонных схем является их поиск среди схем, обладающих компактностью пространственного шаблона, а также среди схем, построенных для продолженной системы. При этом продолженная система состоит из основного уравнения (переноса для искомой функции и уравнения-- (или уравнений) для пространственных производных от этой функции, которые рассматриваются как дополнительные искомые функции [46]; Обычно, при построении компактных схем производные от искомых функций рассматриваются в качестве искомых переменных [9]. Этот прием позволяет легко сформулировать граничные условия с высокой точностью на компактном разностном шаблоне. Компактность шаблона обеспечивает экономичность неявных компактных схем: разностные уравнения решаются либо прогонкой [5, 6, 9], либо бегущим- счетом- [10]. Компактные схемы обладают свойством консервативности [5, 6, 11].
Анализ литературы показывает, что [34], судя, по всему, является первой работой, в которой построена схема четвертого порядка точности на двухточечном шаблоне по пространственной переменной. Важно отметить, что для расчета областей течений с большими градиентами газодинамических переменных на основе гиперболических законов

Е12(Ы,1,;П)
1№Ъ’‘/)-и'0'Мг Е (N, 0)

(1.78)
где IV - число интервалов пространственной сетки на единицу длины, х] = у/Т/, I/- расчетное время, в = 0.01, Хт - точки, в которых точное решение и(х, $ либо имеет разрыв, либо имеет разрыв первой или второй производной.
Схемах А ЧИ кс 128 8.00е-3 256 4.10е-3 0.96 512 2.08е-3 0.98 1024 1,04е-3 1.00 2048 5.23е-4 0.99 4096 2.62е-4 1.00 8192 1,31е
А3(0) ЧЧ> кс 1.85е-5 4.10е-6 2.17 8.91е-7 2.20 1.92е-7 2.21 4.10е-8 2.23 8.70е-9 2.24 1.84е
ЧН 1 кс 9.76е-6- 2.16е-б 2.18 4.70е-7 2.20 1.01е-7 2.22 2.16е-8 2.23 4.бОе-9 2.23 9.75е
Таблица 1.4. Точность численного решения задачи для уравнения Хопфа с начальнокраевыми условиями (1.71), (1.73) при /=0.5.
СхёмьГ - 128 256' 512 1024 2048 4096 8192
Т { Ес{п) 5.44е-3 2.86е-3 1.47е-3 7.43е-4 3.73е-4 1.87е-4 9.35е
1 кс 0.93 0.96 0.98 0.99 1
4(0) | ЕС(П) 9.40е-5 3.42е-5 1.20е-5 4.18е-6 1.47е-6 5.15е-7 1.80с
кс 1.46 1.51 1.52 1.51 1
4(4) 9.07е-5 2.73е-5 5.04е-6 5.44е-7 3.22е-8 4.39е-10 8.81 е
1 кс 1.73 2.44 3.21 4.08 6
4(0) ЧЧ 6.22е-5 2.11е-5 7.70е-6 2.73е-6 9.46е-7 3.35е-7 1.18е
1 кс 1.56 1.45 1.50 1.53 1
ЧсЧ) 4.83е-5 1.36е-5 1.81 е-6 1.82е-7 3.85е-9 5.44е-11 3.86е
1 кс 1.83 2.91 3.31 5.56 6
Таблица 1.5. Точность численного решения задачи для уравнения Хопфа с начальнокраевыми условиями (1.71), (1.74) при /=0.5.
Из табл. 1.3-1.5 следует, что при уменьшении класса гладкости точного
решения от С3(Г2) до С’(И) порядок сходимости разностного решения,
рассчитываемого по схемам повышенной точности А3(С(), £з(С]), к точному