Об асимптотической оптимальности последовательностей квадратурных формул С. Л. Соболева в пространствах Lp (m) (a, b)

• Автор: Сидорова, Татьяна Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 88 с.

Содержание
Введение
Тематика диссертации
Последовательности асимптотически оптимальных формул .
О содержании диссертации
1 Исследование асимптотической оптимальности в пространствах Ц^(а, Ъ)
1.1 Постановка задачи
1.2 Нахождение обратной фукнции и ее производной для полинома Бернулли степени 6
1.3 Преобразование основного уравнения при ш
1.4 Вывод основной теоремы
2 Исследование асимптотической оптимальности квадратурных формул С. Л. Соболева в пространствах Ь^[а,Ь
2.1 Обратная функция и ее производная для полинома Бернулли
степени
2.2 Доказательство основной теоремы
3 Обращение полинома Бернулли степени

4 Весовые кубатурные формулы, построенные с использованием метода Фейера суммирования рядов
4.1 Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических
4.2 Нормы функционала ошибок
4.3 Асимптотическая оптимальность построенных кубатурных формул
Список использованных источников
А Формула конечных приращений Лагранжа
Б Вычисление функции в точках решетки
В Вычисление результанта
Г Определение коэффициентов уравнения 5 степени
Д Нахождение решения уравнения 5 степени

Введение
Тематика диссертации
Теория приближенного интегрирования является развитым разделом математического анализа. Наряду с другими авторами, ей посвящали свои исследования классики математики: И. Ньютон, Л. Эйлер, К. Гаусс, С. Н. Бернштейн, П. Л. Чебышев, С. Л. Соболев и другие. По данной тематике опубликован ряд монографий, в частности, [1-16].В этих книгах даны многочисленные ссылки на статьи, тематика которых пересекается с задачами, рассматриваемыми в настоящей диссертации. Пожалуй, наиболее полная библиография научной литературы подобного плана приводится в книге [16].
Исследование задач теории приближенного интегрирования ведется с точек зрения разных научных направлений. Наиболее важными из них являются: построение формул высокой степени точности; применение теоретико-вероятностных методов к вычислению интегралов и, так называемый, ’’функциональный” подход, связанный с исследованием оценок погрешностей интегрирования в классах суммируемых функций и линейных нормированных пространствах, включающих в себя интегрируемые функции.
Оценки погрешностей интегрирования, зависящие от квадратурной фор-

“ = “о = 5 + зу ЯМЗ?- 27у + 1 з^(243»2 - + Ц
многочлен в квадратных скобах из (2.7) имеет один двукратный корень До = Ч ~ коэффициент при и в (2.6), следовательно, д = —ф--

^Ц^у(Жу*-27^Л)+У±-у/~у(2Щ*-27у+1)^
— —- =дг-, что приводит к уравне-
91 У %+ЫУ&1Ъуг-27у+1)+Щ-у/у{2Ыу*-27У+1) нию:
(и2 + ад)2 — 2ад(д — До)2 = 0- (2-10)
Формула (2.10) верна тогда и только тогда, когда выполняется одно из равенств:
и + ад ~~ у2^о('и — До) — 0 или и + ад + л/2ао(д — До) = 0. (2.11)
Так как до = — 2^, т0 °о / 0. Для существования д/До, необходимо также, чтобы «о > 0. Отсюда «о > 0. Считаем далее это условие выполненным.
Решая квадратные уравнения (2.11), получим что:
Зл/бсио + Ал/2с*о — 54а'о

6 д/Зао
1 Зл/бад + /4д/2о:о — 54а2 — 2 д/Зссо
откуда следует, что г — и =
3 бд/Зоо
Обозначим обратную функцию для В$(х) через т;(у). Пользуясь формулой (1.5), найдем г)[у) :
1 ,, 4(3х/ба0+д/4Л/2а^-54а^-2л/ЗёТ)
Ч (») = * =------------------------------------------*---------------------------------------- ■ (2-12)
Выполняя над х из (2.12) элементарные преобразования, приходим к формуле (2.3).
Теорема доказана.