Вычислительные методы на последовательности сеток

• Автор: Шайдуров, Владимир Викторович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 332 c. : ил

ГЛАВА I. Общие свойства экстраполяции Ричардсона

1.1. Теорема о разложении для разностных схем

1.2. Экстраполяция Ричардсона решений разностных задач

1.3. Теорема о разложении для метода конечных элементов

1.4. Экстраполяция Ричардсона в методе конечных элементов

1.5. Разложение разностных и интегральных выражений в ряд по шагу сетки

1.6. Решение специальных систем уравнений и некоторые вопросы интерполяции

1.7. Экстраполяция Ричардсона для консервативных трехточечных разностных схем

1.8. Экстраполяция Ричардсона для трехточечных

схем метода Бубнова-Галеркина

ГЛАВА 2. Экстраполяция Ричардсона для уравнений в

частных производных
2.1. Разностный метод для эллиптического уравнения
2.2. Метод Бубнова-Галеркина для задачи Дирихле
2.3. Уточнение собственных чисел и векторов
2.4. Одномерное уравнение теплопроводности
2.5. Метод расщепления для уравнения теплопроводности
ГЛАВА 3. Итерационные процессы на последовательности
сеток для проекционно-сеточных задач

3.1. О свойствах двух специальных функций
3.2. Общая формулировка алгоритма
3.3. Модификации алгоритма для энергетических норм
и для несамосопряженных задач
3.4. Совместное использование алгоритма с экстраполяцией Ричардсона
3.5. Решение вырожденных задач
3.6. Решение спектральной задачи
ГЛАВА 4. Использование итерационного процесса на последовательности Сеток для эллиптических уравнений второго порядка
4.1. Двумерная задача Дирихле
4.2. Модификация алгоритма для областей с криволинейной границей
4.3. Вторая и третья краевые задачи
4.4. Задача с точечной особенностью
4.5. Трехмерная задача Дирихле
4.6. Спектральная задача
4.7. Пакет прикладных программ М0К
4.8. Пакет прикладных программ МОК
ОБОЗНАЧЕНИЯ
ЛИТЕРАТУРА
Современные задачи науки и техники ставят все более высокие требования к точности математических моделей и вычислительных алгоритмов. Математически это выражается в повышении размерности соответствующих уравнении математической физики, усложнении краевых условий, изучении различного рода особенностей у решения, возникающих вследствие углов областей, малых параметров, разрывов коэффициентов и т.д. При численной реализации вычислительных алгоритмов для таких моделей остро возникает-проблема быстродействия и памяти ЭЕМ. Быстрый темп развития вычислительной техники все же не обеспечивает необходимых ресурсов для решения задач на основе простых численных методов малого порядка точности. Поэтому экономичное построение приближенных решений с высоким порядком точности в настоящее время является одной из актуальных задач вычислительной математики.
Пути повышения точности решений разностных и проекционно-сеточных задач в математической литературе обсуждаются весьма широко. Во-первых, это простейший прием повышения точности разностных схем пропорциональным уменьшением интервалов дискретизации дифференциальных задач. Для достижения необходимой точности в ряде задач математической физики, особенно многомерных, он приводит к существенному росту числа искомых неизвестных и создает проблему экономичного решения систем и обработки данных огромных размерностей.
Второе направление состоит в использовании большей априорной информации о решении дифференциальной задачи и, в частности, о его повышенной гладкости. Наиболее полно в этом направлении развиты методы построения устойчивых многоточеч-

добные члены в следующем выражении:
И а И е=о иь+1лч у

?к|1и^С?к . (5.II)
Вычтем это равенство из (5.8) и сократим слагаемые в двойных суммах на основании равенств (5.10). В итоге получим равенство, эквивалентное (5.6). Ограниченность & = 8 -$ *рзг вытекает из оценок (5.9), (5.11). Лемма 5.6 доказана.
*1" Я
^ Лемма 5.7. Пусть целое I ^ 1, С|^е С [0,1],Ас
С [0,1] . Обозначим через ТГ линейный интерполянт функции *11 , построенный по узлам У , У + к £ (а) ^ ,а через *Р - произвольную функцию, линейную на [ У , У + к ]
Положим Г = [1/2]н , тогда
У+к У+к

а у
(5.12)
*1 (еЧ-^У) с1х.

р 4- 2^
Здесь функции ц С С [0,1] , 91 € С Ю,1] не зако I к
, У , а функции (Г , ^ ограничены: Н&ЧД^Сак1И?к114« С9кИ. (5.13)
Доказательство . Введем обозначения