Проекционные и итерационные методы решения обратных задач для гиперболических уравнений

• Автор: Шишленин, Максим Александрович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 154 с. : ил.

Оглавление

Введение. Постановка задачи.

1 Прямые задачи

1.1 Введение. Постановка прямых и обратных задач

1.2 Начально-краевая задача для уравнения акустики

1.3 Задача Коши для уравнения колебаний

1.4 Численные методы решения прямой задачи

1.4.1 Конечно-разностные методы

1.4.2 Метод Галеркина

1.4.3 Суммирование рядов Фурье

2 Линеаризованная многомерная обратная задача для волнового уравнения с~2(х,у)иы = Ах,уи
2.1 Введение
2.2 Постановка задачи
2.3 Линеаризация
2.4 Изучение структуры решения одномерной прямой задачи
2.5 Теорема существования решения прямой задачи
2.6 Единственность решения обратной задачи и
регуляризация
3 Проекционный метод
3.1 Введение
3.2 Проекционный метод решения обратной задачи
для уравнения гщ = Дх<уи — д(аг, у)и
3.2.1 Постановка задачи
3.2.2 Сведение к интегральному уравнению
3.2.3 Теорема единственности и оценка скорости сходимости проекционного метода
3.3 Проекционный метод решения обратной задачи для уравнения акустики
иц Аж,^х,у Р(^'> У)^х,у^

4 Метод итераций Ландвебера решения операторного уравнения C{U) — F
4.1 Введение
4.2 Общая схема метода Ландвебера
4.3 Метод итераций Ландвебера определения
коэффициентов уравнения ии = Ах,уи — q(x, у) • и
4.3.1 Свойства оператора обратной задачи С
4.3.2 Оценка скорости сходимости итераций
5 Прямые методы решения обратных задач
5.1 Введение
5.2 Метод обращения разностной схемы
5.3 Метод Гельфанда-Левитана
5.4 Метод граничного управления
6 Сравнительный анализ численных методов решения
6.1 Введение
6.2 Линеаризация
6.3 Проекционный метод
6.4 Метод Гельфанда-Левитана
6.5 Метод граничного управления
6.6 Сравнение методов граничного управления
и Гельфанда-Левитана в одномерном случае
6.7 Численные расчеты
Основные результаты
Список обозначений
Литература

Введение. Постановка задач.
Диссертация посвящена развитию актуального для приложений научного направления — методам решения коэффициентах обратных задач для гиперболических уравнений. Задачи определения коэффициентов гиперболических уравнений [19] и систем по некоторой дополнительной информации об их решении имеют большое практическое значение. Искомыми коэффициентами, как правило, являются такие важные характеристики исследуемых сред, как параметры Ламе — в случае обратной задачи теории упругости, тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости и тензор проводимости — в случае обратной задачи электродинамики, скорость распространения волн в среде и плотность — в случае обратной задачи акустики и т.д.
Обратные задачи для гиперболических уравнений относятся к некорректным задачам математической физики, теория которых была заложена в работах А.Н.Тихонова, В.К.Иванова, М.М.Лаврентьева.
Различные подходы и методы исследования некорректных и обратных задач отражены в работах A.C. Алексеева, О. М. Алифанова, Д. С. Анико-нова, Ю.Е. Аниконова, A. X. Амирова, В. Я. Арсенина, А. Б. Бакушинско-го, М. И. Белишева, Ю. М. Березанского, А. С. Благовещенского, А. Л. Бух-гейма, Г. М. Вайникко, В. В. Васина, А. Б. Гончарского, А. М. Денисова,
B. И. Дмитриева, И. И. Ерёмина, Г. Н. Ерохина, А. Д. Искендерова,
C. И. Кабанихина, В. Р. Кирейтова, М. М. Лаврентьева, A.C. Леонова, Г. И. Марчука, В. И. Максимова, А. И. Прилепко, В. Г. Романова, В.Н. Страхова, В. П. Тананы, С. И. Темирбулатова, В. Г. Чередниченко, В. А. Шарафутдинова, А. Г. Яголы, В. Г. Яхно и др.
По типу дополнительной информации, задаваемой относительно решения прямой задачи, обратные задачи для гиперболических уравнений можно разделить на следующие основные группы: кинематические, спектральные и обратные задачи рассеяния, динамические обратные задачи.
В кинематических обратных задачах в качестве дополнительной информации задаются времена прихода возмущений от источников к поверхности исследуемой среды. При этом измерения могут проводиться как на всей поверхности, так и на некоторой ее части; источники возмущений могут

формулой Пуассона при п = 2:

u(£,t0)d£
, ч 9 «(*,*) = £

— Г ,
^27Г|х-^-*0 /(i-io)2-|x-5|2y 1_ Г щ(Щй£
2?г|х_5|{4_4о v^(* - *о)2 - Iх - ^

«({)«(€, f-ri d?dp

0 |x-S| V^P2"- |x - £|2 формулой Кирхгоффа при n — 3:
Ц(х»*) = !_fo)2 J № *°) + ~ x) ‘ V«(€, to)} dS{+
|x-£|=t-i

J Ut{£,to) d5$ - J q{0-u(£,t- |x-f|)df.
47г(4 - £0)
|х-£|=<-*0 |х-С|<4-*о
1.4 Численные методы решения прямой задачи
1.4.1 Конечно-разностные методы
Пусть Т — положительное фиксированное число, Л^, iVx, iVy — натуральные числа, т = 2T/Nt, hx = T/Nx, hy — T>/Ny. Обозначим — w(ih,jhy,kh), Pi = p{ih,kh), qi = q(ih), äitj = ä(ih,jhy), wx = {w+lj - w^)/h, щ = - «fc1)//*, üyy = («)^-+1 - 2^. + wlfj^/hy и т. д.
Сначала рассмотрим конечно-разностный метод [19] решения одномерной прямой задачи для уравнения акустики
(J^ (х
‘Utt = ^хх ' 7 Г ' Дж> я» £ И) i > 0, (1.4.1)
<т(х)
гф<0 = о, uzU=o = 7^(*)i i > о. (1-4.2)
Решение прямой задачи (1.4.1), (1.4.2) имеет вид
u(.z, f) = s(z) • 0(t — ж) + ü(x, t),
где ü(x,t) достаточно гладкая функция. Тогда от прямой задачи (1.4.1), (1.4.2) можно перейти к задаче Гурса
Sf (х}
^tt ^хх 7 ’ 'М'Х') (1-4.3)