Решетчатые кубатурные формулы высокой тригонометрической точности в четырехмерном случае

• Автор: Петров, Антон Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 77 с. : ил.

0 Введение

1 Теоретико-числовые решетки и критические определители

1.1 Краткие сведения о теоретико-числовых решетках

1.2 Критический определитель

1.3 Критические решетки и кубатурные формулы

1.4 Малое шевеление допустимой решетки

1.5 Преобразование решетки узлов кубатурной формулы

2 Построение серий решетчатых кубатурных формул

2.1 Предварительные сведения

2.2 Построение серий для случая п

2.3 Таблицы серий

2.4 Анализ полученных результатов
3 Построение решетчатых кубатурных формул
3.1 Предварительные сведения
3.2 Алгоритм построения формул
3.3 Таблицы формул, анализ результатов

О Введение
С развитием вычислительной техники появились новые возможности решения прикладных задач, в которых требуется вычислять интегралы от функций двух, трех и более переменных по различным областям интегрирования.
Основная проблема состоит в том, что далеко не каждый интеграл можно вычислить точно. Поэтому остается актуальной задача приближения интегралов конечными суммами.
Общая задача теории численного интегрирования состоит в построении и исследовании формул вида
фициенты формулы. При п — 1 формулы вида (0.1) называют квадратурными формулами, при п ^ 2 — кубатурными.
В отличии от квадратурных формул, известных со времен Ньютона, разработка теории кубатурных формул началась сравнительно недавно.
Теория кубатурных формул сложилась, в основном, из трех ветвей: алгебраически точные формулы; функционально-аналитические методы исследования кубатурных формул, и вероятностные методы приближенного интегрирования.
Одна из задач построения алгебраически точных формул — это построение таких формул вида (0.1), которые точно интегрируют функции некоторого класса, используя возможно меньшее число узлов.
В частности, существенный интерес представляют решетчатые ку-

(0.1)
где Г2 С К", и(х) — весовая функция, ®0) — узлы формулы, С, — козф-

батурные формулы, точно интегрирующие все тригонометрические мономы степени не выше <1 на единичном гиперкубе [0,1)п, исследованию и построению которых, в основном, для 4-х мерного случая посвящена данная диссертация. Эти формулы интересны тем, что помимо прямого вычисления интегралов они тесно связаны с многомерным дискретным преобразованием Фурье [4].
Решетчатой кубатурной формулой называется формула вида
[0Д)П «1 — 1*2 —А *г
(0.2)
где 1 ^ г ^ п, N = ... Иг, р(‘) е 2" — порождающие векторы, {х}
означает взятие дробных частей от всех компонентов вектора х £ Е" Наименьшее из таких чисел г называется рангом данной кубатурной формулы. Коэффициенты решетчатой кубатурной формулы равны между собой, а система узлов определяет некоторую пространственную решетку. Построение и изучение решетчатых кубатурных формул, обладающих тригонометрическим ^-свойством и имеющих минимально возможное число узлов, является одной из наиболее активно развивающихся в последнее время ветвей теории кубатурных формул.
Особый интерес в изучении кубатурных формул, в том числе и решетчатых, представляет задача определения точной нижней границы числа узлов формул.
Определение точной нижней границы для числа узлов N кубатурной формулы (0.1), обладающей ^-свойством, было центральной задачей в 1960-1990 гг. Если для четного сI простейшая нижняя граница определягранице (с1(к)+2)Х*. Для этого необходимо, чтобы совокупность параметров (2.19) содержала 7 нулей и 7 единиц. Причем, данная совокупность параметров должна обеспечивать существование целого решения системы (2.19). В данном случае, таких совокупностей параметров (2.19), оказывается, не так много. После перебора всех вариантов, остается 15 совокупностей параметров, удовлетворяющих поставленным условиям. Далее остановимся на рассмотрении одной из таких совокупностей. Пусть
5 = (1,0,1,2,0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,1). (2.20)
Тогда учитывая (2.20), элементы матрицы
^ ~ с34 + 3 — С44 С34 + С44 4 — С24 5 — С24 — С34 — С44 N
—2 -I- С24 2 — С34 — 2С44 —2 + С44 + 024 + С34 С24

-1-1- 2С44 4- 2сз4 — 2 С34 4- С44 — С44 С34
4 - С44 — С24 ~ С34 —14- С34 4- 2С44 —2 4- С34 4 2044 С44 у
суть множества решений системы (2.18).
Для выбора параметров С24, С34, С44, потребуем, чтобы формула серии с матрицей В(к) обладала тригонометрическим с((А:)-свойством при к = 0. Тогда решетчатая формула с порождающей матрицей Д(0) = С дуальной решетки А-1-(С) будет обладать тригонометрическим о?(0) = г-свойством. Очевидно, что в этом случае решетка АХ(С') будет (г + 1)Х^-допустимой.
Ограничимся перебором параметров С24, сз4,С44 на множестве {(с24, С34) С44) : |С241 + |сз41 + |С441 ^ Г + 1},
где г = 2. Остановимся на тех С24, С34, С44, для которых значение [ <1е1(С)| — минимально. Таким образом, имеем
С24 = 2, С34 = 1, С44 — 0.