Численные методы решения интегральных уравнений в задачах электромагнитного зондирования неоднородных сред

• Автор: Кругляков, Михаил Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 126 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Модифицированный метод интегральных токов в электродинамике неоднородных сред
1.1. Вывод интегрального уравнения по объему
1.2. Численные методы решения интегральных уравнений электродинамики
1.3. Модифицированный метод интегральных токов в уравнениях электродинамики
Глава 2. Квазитрехмерная задача электромагнитного зондирования
2.1. Постановка квазитрехмерной задачи
2.2. Квазитрехмерный метод
2.3. Вычислительные аспекты алгебаризации
2.4. Численное исследование берегового эффекта
Глава 3. Осесимметрическая задача электромагнитного зондирования
3.1. Построение интегрального уравнения
3.2. Асимптотическое поведение поля
3.3. Вычислительные аспекты решения интегрального уравнения в осесимметрическом случае
3.4. Численное исследование островного эффекта
Заключение

Литература
Введение
Одним из активно развивающихся направлений современной прикладной геофизики является электромагнитное зондирование. В его основе лежит математическое моделирование электромагнитных процессов, происходящих в неоднородных средах. Решение вычислительных проблем, возникающих при численном моделировании таких процессов является сложной и актуальной задачей.
Методы электромагнитного зондирования различаются по типу используемого источника: это может быть либо естественное электромагнитное поле Земли, либо какие-нибудь искусственные источники. Традиционно искуствен-ные источники используются для проведения локального зондирования — когда расстояние между источником поля и областью наблюдения сравнительно невелико. Однако в последнее время все больший интерес вызывает применение мощных стационарных электромагнитных источников для выявления структур, расположенных на расстояниях порядка десятков и сотен километров от источника.
Особый практический интерес представляет вопрос о возможности использования стационарного источника, расположенного на суше, для зондирования структур, расположенных под морским дном. Измерения при этом проводятся на дне, а источником может выступать как специально изготовленная антенна или токовая петля, так и обычная линия электропередач или железная дорога, к которым подключается соответствующий передатчик. Подобные эксперименты уже проводятся, например, Полярным геофизическим институтом. Эти эксперименты, в частности, подтвердили практическую возможность измерения поля. Однако с прямым моделированием подобных задач и, тем более, с решением соответствующих обратных задач ситуация гораздо сложнее.

Доказательство. Поскольку Рх 1/^00 = 1^00 и оператор Рп явялется сопряженным, получаем:
само-
Ке^РпА^),^^) = Ие (а^(ЛГ),Рк

(1.56)
Откуда в силу теоремы 1.3 получаем утверждение леммы.

Перейдем к доказательству основной теоремы для модифицированного метода интегральных токов для интегральных уравнений электродинамики.
Доказательство теоремы 1.1. Из ограниченности операторов А и Рх по леммам 1.1 и 1.5 соответственно следует, что оператор Рх А ограничен. Поэтому, в силу леммы 1.7, он удовлетворяет условиям теоремы 1.2 в пространстве Н^ Таким образом, уравнение (1.28) разрешимо при любой правой части из Н^, что эквивалентно существованию решения системы линейных уравнений (1.23) для любой правой части.
Оценим погрешность, с которой решение системы (1.23) приближает интегральные средние от точного решения, т.е. величину 1)— Рх ^
Для этого воспользуемся неравенством (1.55):
2а[Т]'

- рк Щ, роо - рм р))
Рх А - Рм А ^ + Рк А - Рк А Рм ~Й, ^(ЛГ) - Рг
Поскольку в силу (1.27) и (1-28), Р^Ас/^ — Рх 7^° = Рх А Д*

[М _ рм< | (Рх Ар- РхтГ) ,- Рм
(1.57)
получаем,
(1.58)