Исследование и уменьшение дисперсии весовых оценок в методе Монте-Карло

• Автор: Медведев, Илья Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 71 с.

1. Оптимизация весовых методов Монте-Карло по вспомогательным переменным
1.1. Модификация фазового пространства и весовой оценки
1.2. Оптимизация моделирования по части переменных
2. Ценностное моделирование
2.1. Эффективность ценностного моделирования начального распределения
2.2. Моделирование начального распределения процесса для некоторых задач теории переноса
2.3. Частичное ценностное моделирование элементов траектории
2.4. Метод исследования дисперсии весовой оценки
3. Исследование дисперсии весовых оценок в методе “экспоненциального преобразования”
3.1. Асимптотическая оптимизация распределения длины свободного пробега
3.2. Исследование дисперсии весовых оценок
3.2.1. Одномерный вариант
3.2.2. Сферический вариант
3.2.3. Численные расчеты для сферического варианта
Заключение
Литература

Разработка алгоритмов численного статистического моделирования в настоящее время имеет особое значение в связи с возможностью их идеального распараллеливания путем распределения численных статистических испытаний по отдельным процессорам. Практически статистическое моделирование наиболее часто используется для решения задач физики и техники, в основе которых лежат вероятностные модели, связанные с некоторыми цепями Маркова [2],[15],[16]. В принципе, такие задачи можно решать непосредственно численно моделируя траектории этих цепей. На основе исходного “феноменологического” описания проблемы можно даже строить весовые модификации алгоритма, домножая вспомогательный “вес” после каждого элементарного перехода на отношение соответствующих (может быть обобщенных) плотностей исходного и моделируемого распределений. С другой стороны, моделирование траекторий частиц можно интерпретировать как алгоритм оценки функционалов от соответсвующего интегрального уравнения второго рода, ядро которого совпадает с плотностью перехода базовых цепей Маркова [2],[14]. Однако зачастую прямое моделирование не позволяет оценивать изучаемые величины с требуемой точностью. В этом случае можно использовать весовые методы Монте-Карло, состоящие в том, что на ЭВМ моделируется подходящая цепь Маркова, а требуемые функционалы оцениваются с помощью веса, который после очередного перехода в цепи домножается на отношение ядра интегрального уравнения к переходной плотности. Несомненный плюс рассмотрения соответствующих интегральных уравнений - возможность детального изучения эффективности различных весовых модификаций. В частности, на основе таких уравнений можно разрабатывать “ценностные” алгоритмы с малыми вероятностными погрешностями, что особенно важно для оценок малых вероятностей [2]. В последнее время было выяснено [1], что для построения весовых модификаций может быть особенно эффективным

увеличение размерности фазового пространства путем включения в число фазовых координат моделируемых вспомогательных случайных величин. Соответствующая факторизация ядра базового интегрального уравнения и вспомогательной плотности перехода иногда дает требуемую весовую модификацию.
Изложим более подробно введенные понятия. Математическая модель ряда прикладных задач строится на основе рассмотрения некоторого скачкообразного обрывающегося с вероятностью единица однородного марковского процесса (см. например, [2]). При этом траектория процесса вполне определяется ее состояниями в моменты скачков, т.е. фактически можно рассматривать обрывающуюся однородную цепь Маркова с заданной переходной функцией P(x',S), где х € X — m-мерное евклидово пространство, S С X - измеримое по Лебегу множество. Для построения весовых алгоритмов моделирования целесообразно рассматривать соответствующую условной мере P(x',S) обобщенную субстохастическую плотность перехода к(х',х). Обобщенная плотность распределения к(х х) определяется для любого х' £ X равенством
J h(x)P(x',dx) — J k(x',x)h(x)dx V/г € Со(Х),
х х
где Со{Х) - множество непрерывных ограниченных функций. Отметим, что здесь и далее рассматриваются и ненормированные (т.е. не обязательно вероятностные) распределения.
Настоящая работа ориентирована на приложения в теории переноса частиц, в которой кроме измеримых плотностей, соответствующих абсолютно непрерывным распределениям, используются также “дельтафункции”, означающие интегрирование по некоторым многообразиям меньшей сравнительно с т размерности (см., например, [2] раздел 2.1.1). Использовать обобщенные плотности (вместо интегрирования по соответствующим мерам) в теории статистического моделирования предложил H.H. Ченцов [3] в связи с тем, что такой подход упрощает
3.2. Исследование дисперсии весовых оценок

1 - (с- (qHo)1/2Ÿ
ln гг = С
1 - (е+ (<7/io)1/2)2 1

В случае изотропного рассеяния из (3.1) имеем с = Со = /1 — д.
Ясно, что использование оптимальной переходной плотности вида (1.9), где функция д(г,н) — а(ц)е2с2 определяется уравнением 3.1, дает существенное уменьшение величины Е£2 сравнительно с прямым моделированием, причем асимптотику этого уменьшения по величине Н можно оценить непосредственно на основе леммы 1.1. Величина Е£2 при 2 = Н, т.е. при нулевом расстоянии от источника до приемника, во всех вариантах моделирования несущественно отличается от единицы. Например, в случае изотропного рассеяния, для оптимальной частичной модификации имеем
В случае прямого моделирования нетрудно заметить, что уравнения для Е£2 и <р* тождественно совпадают, поэтому:
где L - диффузионная длина, определяемая из характеристического уравнения переноса [б]. Следовательно, асимптотика уменьшения дисперсии определяется величиной 0(ехр{—(H — z)(2cq — 1/L)}). Например, в случае изотропного рассеяния при q = 0,7 имеем 1/L = 0.829, а 2со = 2/сГз « 1.095, т.е. 2со — 1/L « 0.266.
3.2. Исследование дисперсии весовых оценок
3.2.1. Одномерный вариант
Заметим, что уравнение (0.2) для описанной модели, с учетом вспомогательной переменной I (см. раздел 1.2), можно записать в виде
Еех = д(х)=0(е-2с“<*-*>).
Е ех = ^{г,и) = 0(е~^).