Метод минимальных невязок в нестандартных крыловских подпространствах

• Автор: Мансур Дана Хади
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 121 с. : ил.

Список обозначений

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Обобщенный метод минимальных невязок

1.2. Обобщенный процесс Ланцоша

1.3. Метод МШКЕБ-И

Глава 2. Метод МШЯЕЗ-Ш

2.1. Основной вариант

2.1.1. Детали реализации метода

2.1.2. Численные эксперименты

2.2. Линейные многочлены от унитарных матриц

2.2.1. Детали реализации метода

2.2.2. Численные эксперименты
Глава 3. Малоранговые возмущения эрмитовых систем
3.1. Нормальные возмущения
3.2. Анормальные возмущения ранга
3.3. Анормальные возмущения большего ранга
Глава 4. Восстановление матриц по их одноранговым возмущениям
4.1. Вспомогательные результаты
4.1.1. Решение задачи 4
4.1.2. Решение задачи 4
4.2. Восстановление эрмитовых матриц
4.2.1. Эрмитова матрица А
4.2.2. гапк(А - А*)
4.2.3. гапк(А — А*)
4.2.4. Нильпотентные матрицы Я
4.3. Восстановление унитарных матриц
4.3.1. Унитарная матрица А
4.3.2. гапк(ЛМ - /„)
4.3.3. гапк(Л*Л - 1п)
4.4. Восстановление комплексных симметричных матриц
4.4.1. Симметричная матрица А
4.4.2.гапк(Л-Лт)
4.4.3. гапк(Л — Ат)
Литература
Приложение 1. Процедура МШ11ЕЗ-П2 (основной вариант)
Приложение 2. Процедура МШИЕЭ-Ш (линейные многочлены от унитарных матриц)

Список обозначений
К — ноле вещественных чисел С — поле комплексных чисел
К7' — арифметическое пространство размерности п над И
Сп — арифметическое пространство размерности п над С
Мт,п(Ы) — пространство вещественных т х п—матриц
Мп(И) — пространство вещественных квадратных матриц порядка п
Мт<п(С) — пространство комплексных т х п—матриц
Мп(С) — пространство комплексных квадратных матриц порядка п
1п — единичная матрица
О — число нуль, нулевой вектор или нулевая матрица (размер определяется контекстом)
А — матрица, полученная из А взятием поэлементного сопряжения АТ — транспонированная матрица А* — сопряженная матрица Л“1 — обратная матрица
А+ — псевдообратная матрица Мура—Пенроуза
|| • ||2 — евклидова норма вектора, спектральная норма матрицы
соікі2(А) — спектральное число обусловленности матрицы А
Лі (А) — собственные значения матрицы А
(Тг(А) — сингулярные числа матрицы А
/Ст(А, х0) — т-е крыловское подпространство, порожденное матрицей А и вектором х0
хт — приближенное решение системы, вычисленное на шаге т Тт — Ь — Ахгп — невязка т-го приближенного решения

Глава 3. Малоранговые возмущения эрмитовых систем
В этой главе мы показываем, что метод MINRES-N, использовавшийся в предыдущей главе лишь для специального класса нормальных систем, может быть, в действительности, применен к более широкому множеству нормальных и даже анормальных систем. Матрицы этих систем проще всего описать в терминах их теплицева разложения
A = B + iC, (3.1)

В = 1{А + А*), С=Д(Л-Л*). (3.2)
В разделе 3.1 рассматриваются нормальные матрицы с малоранговой компонентой С:
к = rank С <С п . (3.3)
Оказывается, что MINRES-N не только применим к матрицам этого типа, но и имеет следующую привлекательную особенность: начиная с некоторого шага, рекурсия, длина которой зависит от к, может быть заменена трехчленной рекурсией вроде той, что выполняется в эрмитовом процессе Ланцоша.
В разделах 3.2 и 3.3 рассматриваются анормальные матрицы, для которых соответственно
rank 0—1 (3.4)

rank С = к > 1 . (3.5)