Дробно-рациональная аппроксимация функций и приложения

• Автор: Петрак, Лариса Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 123 с. : ил.

I. ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА ЧИНИ-ЛОЕБА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ АППРОКСИМАЦИИ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

1. Описание общей схемы алгоритмов типа алгоритма ЧиниЛоэба

2. Вспомогательная минимаксная задача. Существование ее

решения

3. Сходимость алгоритма и оценки скорости сходимости

4. Допустимые множества

II. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ РАВНОМЕРНОЙ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ

1. Первый вычислительный алгоритм для равномерного

приближения функций рациональными дробями

1.1. Вид'решаемой задачи линейного программирования, основные особенности алгоритма

1.2. Способ исключения свободных переменных

1.3. Информация, которую можно использовать на
каждой итерации
1.4. Правило выбора подмножества точек
1.5. Тестовый пример
2. Второй вычислительный алгоритм для равномерного приближения функций рациональными дробями
2.1. Постановка задачи, обозначения, некоторые свойства решаемой задачи

2.2. Способ построения подходящего начального базисного множества и его обоснование
3. Алгоритм среднеквадратического приближения функций рациональными дробями
3.1. Постановка задачи
3.2. Описание алгоритма
3.3. Вычислительная схема алгоритма
III. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ
1. Аппроксимация координат точки падения центра масс
1.1. Общее описание задачи
1.2. Постановка задачи аппроксимации поправок
1.3. Дробно-рациональная аппроксимация в задачах приближения поправок
2. Аппроксимация параметров атмосферы
2.1. Введение
2.2. Методика построения моделей атмосферы
2.3. Постановка задачи
2.4. Региональные модели температуры
2.5. Региональные модели скорости ветра
3. Дробно-рациональная аппроксимация в задачах тепломассообмена
3.1. Примеры использования функций Еп и Кп в задачах
3.2. Способы вычисления значений Кп и Еп
3.3. Методика построения эффективных формул
3.4. Решаемая задача аппроксимации и полученные результаты
ЛИТЕРАТУРА

75 75

Многие задачи науки и техники приводят к необходимости аппроксимации функциональных зависимостей по дискретным исходным данным. Задачи хранения больших объемов дискретной информации, восстановления по имеющейся дискретной информации значений функции в точках, отличных от заданных, с точностью, не намного уступающей точности задания исходной информации, ускорения времени счета значений функции могут быть решены с использованием методов аппроксимации. Для представления сложных зависимостей, описывающих реальные физические, химические и др. процессы в задачах, связанных с различными областями человеческой деятельности, зачастую необходима аппроксимация с помощью нелинейных классов функций.
Одним из важнейших нелинейных классов является класс дробнорациональных функций общего вида. Однако в отличие от полиномов, на приближении которыми основывается значительная часть численного анализа, построение приближений нелинейными семействами, в том числе дробно-рациональными функциями, оказалось связано со значительными трудностями. Большое внимание созданию таких алгоритмов стало уделяться с развитием вычислительной техники.
Настоящая работа посвящена разработке алгоритмов для численного решения задачи наилучшего равномерного и среднеквадратического приближения функций рациональными дробями. Рассматривается также применение алгоритмов для решения конкретных прикладных задач.
Разработкой алгоритмов для численного решения задачи наилучшего равномерного приближения рациональными дробями занимались многие авторы [6]-[8], [12], [21]—[23], [26]-[29], [32]-[37], [42], [44]-[60], [65], [67], [68].
тельных работ, который зависит от размеров самой задачи (от числа ее переменных и ограничений) и числа шагов симплекс-метода, требуемых для достижения решения.
Цель, которой мы руководствовались при разработке обоих алгоритмов, состояла в построении вычислительных схем симплекс-метода, в которых использовались бы специфические черты, присущие задачам чебышевского приближения.
Минимаксная задача, решаемая на каждой итерации в методе Чини-Лоэба, имеет вид:
min max ~ AkQ{xi) | (Q
Pe-pW,Q£Tl
где P(x) = 53 ps(ps(x), Q(x) = 53 QjTpjfa) ~ полиномы по заданным на-
*=i j=i
борам функций ipi ф, • •., ipm, {х,} — совокупность из N
точек Xi — (®i,i xij) /-мерного (/ > 1) евклидова пространства, Т - некоторое допустимое множество ПОЛИНОМОВ Q, Pk/Qk ~ дробь, полученная на к-й итерации (к > 0), Ак = А{Pk,Qk) — ^max^ |/(xj) — Pk(xi)/Qk(xi), Po/Qo ~ заданная начальная дробь (вообще говоря, задаваемая произвольно) с Qo(xi) > 0 (г = 1 N) из соответствующего класса рациональных дробей, / — приближаемая функция, fi = f(x{), i = 1 N. Из общей теории (см. главу I) следует, что на каждой итерации автоматически получаются значения Qk{x,) > 0, i = l N.
В главе I, § 1 показано, что при определенных условиях на функции
Vv> j = 1,.. •, m, в методе можно ограничиться односторонними ограничениями на коэффициенты знаменателя (в некоторых случаях и еще уменьшить число ограничений), приведены различные виды возможных ограничений (удобных для практики), при которых имеет место сходимость метода.