Метод декомпозиции области для эллиптической краевой задачи с внутренним вырождением

• Автор: Таюпов, Шамиль Ильдусович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 116 с.

Обозначения
1 Обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка
с вырождением
1 Вспомогательные результаты
2 Гладкость решения задачи Дирихле
3 Гладкость решения задачи Неймана
4 Оценки погрешности интерполяции в весовых нормах Соболева
5 Схемы МКЭ для вырождающихся задач
6 Схемы с численным интегрированием для задачи с вырождением
7 Оценки погрешности схемы с численным интегрированием
8 Пространства Нр(—1,1)
9 Уравнение с внутренним вырождением коэффициентов
2 Вырождающиеся уравнения 2-го порядка в частных производных
1 Неоднородные краевые задачи с вырождением на границе

2 Функция продолжения
3 Уравнение с внутренним вырождением коэффициентов
4 Метод конечных элементов для задачи с внутренним вырождением
3 Метод декомпозиции области
1 Алгоритмы метода декомпозиции области
2 Свойства операторов Стеклова-Пуанкаре
3 Сходимость метода декомпозиции области
4 Результаты численных экспериментов
Литература

Обозначения
Пусть X и У — банаховы пространства с нормами || • ||х и || • ||у соответственно. Будем говорить, что X непрерывно вложено в У и использовать обозначение X С У, когда X является подмножеством У, и для любого и из X имеет место неравенство вложения
Н|у < сЦмЦх,
где константа с не зависти от и. Будем говорить, что X компактно вложено в У и писать X С С У, если из любой ограниченной по норме || • ||х последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся в норме || • ||у. Две нормы || • Цх и || ■ ||2 на банаховом пространстве X назовем эквивалентными, если для всякого и € X существуют константы сх и с2, не зависящие от и, такие что
Сх||и||х < |М|г < с2||и||х.
В этом случае будем писать ||и||х ~ 1М|2- Множество всех линейных операторов, действующих изХвУ обозначим В(Х,У).
Для открытого ограниченного интервала О С Л1 введем в рассмотрение пространства функций. Через Ст(Г2) обозначим множество функций т раз непрерывно дифференцируемых на О, т — целое неотрицательное число. Пространство Ст(С1) является банаховым относительно нормы
1М1с"*(П) = 53тах|£>1(ж)|.
г<т
Здесь и далее Вги(х) обозначает обобщенную производную порядка г функции и(х). Там, где это не вызовет двусмысленности, символ П в обозначеНа пространстве Ун рассмотрим следующую задачу:
ин^Ун'- аь(ин,ун) = Д(ил) для всех ин из Ун. (1.28)
Здесь ан(ин,Ун) = ан(йн,щ), //г(г»Л) = ин = сгйн, ин = ст£Л. Форма ан
и функционал Д в свою очередь получаются из а и / заменой интегралов квадратурными формулами:
J х2~°‘а{х)Вй11(х)Оин{х)дх ~ <3п,2^Да-ОгД-О-щ), п
/-‘-““л*.<*адл

J х1~~а/{х)ун{х)(1х ~ <3пд_а(/г)Л)
Исследуем разрешимость задачи (1.28). Справедлива
Теорема 1.14 Пусть а Е СДП), Ь и / Е С{£1), квадратурные формулы С^е,2-а, Яе,1-а, Яе точны на полиномах степени 2т — 2 и коэффициенты этих формул являются положительными. Тогда на пространстве Ун билинейная форма ан(и,и) является ограниченной и положительно определенной равномерно по к, а фгункциоиал Д(г>) является равномерно огралшченным по к.
Для доказательства нам потребуются две леммы.
Лемма 1.6 Пусть А, В — симметричные неотрицательные матрицы порядка п, а(х,х) = (Ах,х), Ъ{х,х) = (Вх,х) — соответствующие им квадратичные формы, (х,у) — скалярное произведение в ВТ. Тогда, если
кег(й) — {ж € ВТ : 6(ж,ж) = 0} С кег(а),