Дискретные периодические сплайны с векторными коэффициентами и поверхности Кунса

• Автор: Чашников, Николай Викторович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 113 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава I. Дискретные периодические сплайны
с векторными коэффициентами
§ 1. Основные понятия дискретного гармонического анализа
§ 2. Дискретные периодические сплайны с векторными
коэффициентами
§ 3. Вычисление значений дискретных периодических сплайнов
§ 4. Предельные кривые для дискретных периодических
сплайнов
§ 5. Аналог эрмитовой сплайн-интерполяции в дискретном
периодическом случае
§6. Предельные кривые для дискретного аналога эрмитовой
сплайн-интерполяции
Глава II. Поверхности Кунса
§7. Билинейные и бикубические поверхности Кунса
§ 8. Обобщённые поверхности Кунса
§9. Дискретные поверхности Кунса

§10. Экстремальное свойство обобщённой поверхности Кунса. 87 § 11. Предел дискретных поверхностей Кунса
Литература

Введение
Область прикладной математики, называемая геометрическим моделированием (компьютерная геометрия, Computer Aided Geometric Design, CAGD), активно развивается с середины 20-го века (см. [27]). В этой области изучаются способы построения кривых, поверхностей и тел, а также компьютерная реализация различных операций, производимых с ними. Геометрическому моделированию посвящены несколько книг и монографий, из которых можно выделить следующие [1, 2, 28, 36, 42, 45]. Кроме того, эта область является темой множества статей, часть из которых выходит в специализированных журналах (Computer Aided Geometric Design, Computers & Graphics, Computer Graphics and Image Processing).
Обычно в геометрическом моделировании кривая определяется как множество значений непрерывной вектор-функции, заданной на отрезке вещественной оси. Например, для построения замкнутых кривых можно использовать тригонометрические полиномы (см. [40, 43]). Однако реально используются значения вектор-функции только в некотором конечном числе точек. Поэтому можно с самого начала определять кривую при помощи вектор-функции, заданной на дискретном множестве. В случае замкнутой кривой для этой цели можно применить дискретные периодические сплайны [9], которые были введены для нужд дискретного гармонического анализа. Если в гармоническом анализе рассматривались сплайны с комплексными коэффициентами, то в геометрическом моделировании естественно использовать вещественные векторные коэффициенты. При этом свойства дискретных сплайнов можно распростра-

4.5. Обозначим через ИД линейное пространство, состоящее из т-периодических функций, у которых (г — 1)-я производная абсолютно непрерывна, а г-я производная суммируема с квадратом на основном периоде [0, гте]. Через У£ обозначим пространство сТмсрных вектор-функций, координатные функции которых принадлежат пространству ИД.
Покажем, что интерполяционный сплайн 8Г(£) принадлежит пространству Ж-1. Действительно, из предложения 4.1 следует, что 8г2г_2 — непрерывная кусочно-линейная т-перподическая вектор-функция. Таким образом, она абсолютно непрерывна, а её производная суммируема с квадратом на основном периоде.
ЛЕММА 4.4. Пусть $д Є ИД1. Тогда, справедливо правило интегрирования по частям
ГТП /»771
/ А*) 5(*) = - / Ї{Ї)9Ґ)М- (4-6)
Доказательство. По определению функции /ид имеют производные в почти всех точках и ,д' Є Т2([0, т]). Кроме того, функции / и д абсолютно непрерывны, поэтому также принадлежат пространству То-Таким образом, произведения /'д и / д' суммируемы на [0, т], поэтому