Аппроксимация дифференциальных уравнений в банаховом пространстве

• Автор: Пискарев, Сергей Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 326 с.

1 Общая аппроксимационная схема

1.1 Дискретная сходимость

1.2 Аппроксимация спектра линейных операторов

1.3 Области сходимости

• 1.4 Сходимость в случае условии Анселоне

1.5 Компактная сходимость резольвент

2 Определяющие семейства и их возмущения

2.1 Задача Коши

2.2 Уравнения 1-го и 2-го порядков

2.2.1 Измеримость полугрупп и косинус оператор-функции

^ 2.2.2 СУ определяющие семейства

2.3 Семейства операторов {/(•) и К(-)
2.3.1 Измеримость и непрерывность семейств и(-) и К(-)
® 2.3.2 Преобразование Лапласа семейств Ц(-) и К(-)
2.4 Семейства операторов Д(-) и С(-)
2.4.1 Измеримость и непрерывность семейств К(-) и С(-)
2.4.2 Преобразование Лапласа семейств К(-) и С/(-)
2.5 Почти периодичность семейств
2.5.1 Почти периодические Сц-полугруппы

2.5.2 Почти периодические семейства £7(.) и V(•)
2.5.3 Почти периодические С'о-КОФ
2.5.4 Почти периодические семейства F(•) и (?(•)
2.6 Компактность оператор-функции
2.6.1 Компактность Со-полугрупп операторов
2.6.2 Компактность семейств {/(•),К(-)
2.6.3 Компактность Со-КОФ
2.6.4 Компактность семейств К(-) и С(-)
2.7 Общие мультипликативные теоремы I
2.7.1 Приложения к аддитивным возмущениям
2.7.2 Возмущения, порождаемые семейством [/(•)
2.7.3 Возмущения, порождаемые семейством V(■)
2.8 Общие мультипликативные теоремы II
2.8.1 Возмущения, порождаемые семейством К(-)
2.8.2 Возмущения, порождаемые семейством Ст(-)
2.8.3 Сравнение С'о-коспнус оператор-функций
2.9 Возмущения с условием на интегральный оператор
2.9.1 Теорема о возвышении для С'о-групп
2.9.2 Теорема о возвышении для С'о-КОФ
2.9.3 Возмущения С'о-групп операторов
2.9.4 Возмущения С'о-коспнус оператор-функций
Аппроксимация определяющих семейств
3.1 Дискретизация С0-полугрупп
3.1.1 Простейшие схемы дискретизации
3.1.2 Рациональная аппроксимация
3.1.3 Метод экстраполяции Ричардсона
3.1.4 Аппроксимация возмущенных С'0-полугрупп
3.2 Обратная задача Коши
3.2.1 С'-полугруппы и некорректные задачи
3.2.2 Теорема о полудискретной аппроксимации
3.2.3 Аппроксимация дискретными С'-полугруппа.мн

3.3 Неравенства коэрцитивности
3.3.1 Неравенство коэрцитивности в ([0,Г]; Еп)
3.4 Аппроксимации полулинейных уравнений
3.4.1 Аппроксимация задачи Коши
3.4.2 Аппроксимация периодической задачи
# Приложения

4.1 Определяйте семейства
4.1.1 Задача Коши для полного уравнения п-го порядка
4.1.2 Задачи Коши для уравнений 1-го и 2-го порядка
4.1.3 Резольвентные семейства
4.2 Аппроксимация с переменным шагом
4.3 Аппроксимация управляющего элемента
4.4 Аппроксимация аттракторов
4.4.1 Аппроксимация стационарных точек
4.4.2 Локальные неустойчивые многообразия
Ф 4.4.3 Непрерывность аттракторов сверху и снизу
Литература

Ясно, что Е* СЕ*, но, вообще говоря, Е* ф Е*. Достаточно рассмотреть, например, случай Е = т. В этой ситуации Е* — I и, значит, Е* ф Е*.
Определение 1.1.6 Линеал Е* называется тотальным над Е, если усло-вие
{х,х*) — 0 для всех х* Е Е*
означает, что х = 0.
До сих пор не известно справедливо ли в общем случае
Утверждение 1.1.1 Линеал Е* тотален над пространством Е.
Однако, при дополнительных предположениях утверждение 1.1.1 удается доказать. Так например, Д.Б. Эпопей [152] установил его в случае сепарабельного пространства Е. Если не предполагать сепарабельности Е, но сделать предположение относительно операторов {р„} и пространств Еп, то, следуя V/. С1ю,]‘пас1а (частное сообщение), можно доказать утверждение
1.1.1 следующим путем. Пусть пространства Еп таковы, что для т > п существуют отображения РП)ГП Е В(Ет,Еп) СО СВОЙСТВОМ 5ирт>г1 ||Рп,т|| < М < со и такие, что ||Рп,тртх — РпД-'Ц 0 при т —> оо для любого х Е Е. Такое предположение может, например, выполняться, когда мы рассматриваем разностный метод с умельченнем шагов сетки как /г*, = ^ или проекционный метод. В такой ситуации каждый элемент у* Е Е*п отображается в р*пу* Е Е*. В самом деле, последовательность
4 | 0, если т < п,
( Рп ту , если т> п,
будет V-слабо сходиться к р*пу*, т.е. у*т > р*пу* при т -> оо. Это легко
увидеть, рассмотрев для хт —> х неравенство
при т —>• оо.
А теперь, пусть х Е Е — некоторый фиксированный элемент. По теореме Хана-Банаха для любого п Е ЕЛ найдется такой элемент х*п Е