Dm-сплайны в задачах приближения функций на хаотических сетках

• Автор: Бежаев, Анатолий Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 130 c. : ил

ГЛАВА I. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ D -СПЛАЙНЫ

§ I. Существование и единственность. Теоремы

сходимости

I.I. .Предварительные сведения из теории

соболевских пространств

1.2. Определение и свойства -О -сплайнов

1.3. А.-сети и теорема сходимости

§ 2. Оценки сходимости

2.1. Специальное покрытие области

2.2. Равномерная эквивалентность норм

2.3. Лемма о соболевских функциях со сгущающимся семейством нулей

2.4. Сходимость сплайнов в нормах lf
2.5. Сплайны по локальным средним
§ 3. Сплайны с краевыми условиями
3.1. Существование и единственность.
Свойство ортогональности
/ Р
3.2. Оценки сходимости в L
ГЛАВА 2. СЛЕДЫ iT"-СПЛАЙНОВ НА ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЯХ
§ 4. Следы сплайнов на неалгебраических многообразиях
4.1. Пространства HS(T)
4.2. Существование и единственность.
Теорема сходимости
4.3. Скорость сходимости в HS(r) и С(Т)
§ 5. Следы сплайнов на алгебраических многообразиях

5.1. Следы ПОЛИНОМОВ ' Пг-1 на Г
5.2. Единственность следа сплайна
5.3. Сходимость
§ 6 . £* -сплайны в &
ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ СПЛАЙНОВ
§ 7. Алгоритмические аспекты метода сплайнов на
подпространстве
§ 8. Сходимость бикубических сплайнов в задаче интерполяции функции на хаотическоей сетке
8.1. Дискретизация задачи
8.2. Оценки погрешности
§ 9. Приближение функций, заданных на сфере
9.1. Разложение пространства
►’Т9.2. Алгоритм построения V -сплайна на сфере
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ

Современная теория сплайнов представляет собой быстроразви-вающийся раздел вычислительной математики, ориентированный на решение задач гладкой аппроксимации функциональных зависимостей, заданных в дискретной форме. Эта теория, зародившаяся в работах Шенберга как алгебраический аппарат построения гладких восполнений сеточных функций, получила новый импульс для развития, когда был открыт (Дж.Холидей, 1957) вариационный принцип, которому подчиняются сплайн-функции. (Следует отметить, что алгебраическая теория сплайнов продолжает успешно развиваться, в основном благодаря усилиям советских математиков во главе с Ю.С.Завьяловым и Ю.Н.Субботиным). В конечном итоге это привело к общему определению сплайна как элемента гильбертова пространства, принимающего заданные значения на некоторых линейных функционалах и минимизирующего квадратичный функционал типа энергии (М.Аттъя, 1966). В дальнейшем был предложен общий алгоритм построения таких сплайнов (П.-Ж.Лоран, Ф.Анселон, 1968), окончательно выяснены вопросы существования и единственности сплайнов. С этого времени стала очевидной связь между теорией сплайнов и теорией регуляризации некорректно поставленных задач, разделом, созданным советскими математиками во главе с А.Н.Тихоновым.
Вопросам сходимости сплайнов в общей форме был посвящен цикл работ В.А.Василенко. На основе введенного им понятия пра-

ГЛАВА
_т.
СЛЕДЫ I) -СПЛАЙНОВ НА ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЯХ
§ 4. Следы сплайнов на неалгебраических многообразиях
4.1. Пространства Н (Г)
Пусть НА односвязная ограниченная область в 1Ьс с
границей, удовлетворяющей условию Липшица, целое,
- пространство Соболева, определенное в § I. Аналогично можно определить пространство гУ2 ({(I ) . Известно [в] , что эти пространства связаны между собой таким образом, что след функции пространства Ч/г (ЙЬ ) на область Л,
является функцией пространства л/^(Ц.) , и, наоборот, для
любой функции и-в (л) существует ее продолжение на Ш , принадлежащее Ъ/*ъ((И>ь)
В работе |^22^ дано определение соболевских пространств ) » которые при целых Б совпадают с соответствую2 I $> 1ь
щими пространствами V, (1кх) , и нормы в Н (1(1 ) и
У^(КК") эквивалентны.
Пусть -0-с» с односвязная область, с » граница которой Г является бесконечно дифференцируемым многообразием размерности (г-1 '.
Гб (4.1)
Определение И (Г4) [22] . Пусть =-1
мейство ограниченных областей из Ш , покрывающее Г