Коэрцитивные оценки разностных методов для второй краевой задачи

• Автор: Рукавишников, Виктор Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 116 c. : ил

ГЛАВА I. ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ,

АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ВТОРУЮ КРАЕВУЮ ЗАДАЧУ

1.1. Основные обозначения и вспомогательные

утверждения

1.2. Построение разностной схемы

1.3. Оценки скорости сходимости

1.3.1. Основные леммы

Т.3.2. Неравенство коэрцитивности. Теоремы

сходимости

1.4. Задача Неймана для случая Си^х)=0} СО(Х)=0

1.5. Случай двух независимых переменных

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ.СВОЙСТВ РЕШЕНИЯ
ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
" НА ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ

2.1. ^Обозначения и определения
2.2. Регулярность решения задачи Неймана для уравнения Гельмгольца
2.3. Регулярность решения задачи Неймана для Iэллиптического уравнения с постоянными.
• коэффициентами
2.3.1. Постоноша задачи
2.3.2. Гладкость решения второй краевой задачи
на секторе
2.3.3. Обобщения

ГЛАВА 3. РАСЧЕТ ГЕОТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ
АЗИАТСКО-ТИХООКЕАНСКОЙ АКТИВНОЙ ОКРАИНЫ

3.1. Постановка задачи
3.2. Исходные данные для расчетов
3.3. Численное решение задачи геотермии для профиля
3.3.1 Выбор и исследование разностной схемы
3.3.2.Метод решения сеточных уравнений
3.3.3 Результаты расчетов
ЛИТЕРАТУРА
Настоящая диссертация посвящена построению и исследованию разностных схем для второй краевой задачи, изучению дифференциальных сеойств решений задачи Неймана и численному решению прямой задачи геотермии.
В работах feoj , [7] , fl] , [з] , [24] для второй краевой задачи в параллелепипедальних областях строились разностные схемы и изучалась скорость сходимости их решений. В [бО] построена разностная схема, аппроксимирующая задачу Неймана для уравнения Лапласа в прямоугольнике с погрешностью 0($?) . Доказана равномерная сходимость этой схемы со скоростью оаги*М).
Работа посвящена исследованию равномерной сходимости разностной схемы, аппроксимирующей ту-же задачу для уравнения Пуассона с '■ погрешностью О (IV
В fl] для второй краевой задачи с самосопряженным эллиптическим уравнением без смешанных производных в р - мерном прямоугольном параллелепипеде была построена разностная схема второго порядка погрешности аппроксимации и доказана сходимость в . В [з] было показано, что эта схема сходится к достаточно гладкому реше-■"-Нию исходной задачи в норме сеточного пространства W/ со скорое-
~'0(Т)
В [24] ( см. также § 3 гл. 1У [47J ) была найдена разностная схема для той же, что ив flj , задачи при условиях, что уравнение содержит смешанные производные и область является прямоугольником. Для решения этой разностной задачи была установлена опенка скорости сходимости в норме пространства , аналогичная [3]
В настоящей работе разностная схема, аппроксимирующая вторую краевую задачу для несамосопряженного эллиптического уравнения со

(ійк- І ш) А * ті1)-їй а1),
яі я>
Последнее равенство следует из условия (1.58) и того, что квадратурная формула трапеции аппроксимирует і 4(х) с^ос с погреш-

ностью му (см., например, [35] ).
Таким
образом, установлено, что функция ~7Г?1
П I
удовлетворяет всем необходимым условиям. • ■ ‘
1-*і
Теперь исследуем задачу (1.60).
Теорема 1.5. Пусть - оператор определенный в равенстве (1.60). Пусть коэффициенты С£ ^(х) є Сг(Ої) и для
них выполняется условие (1.4). Тогда при выполнении условия
= 0 (1-64> решение задачи существует и единственно, если
(и,!)^ - 0, - C£^Mt. (1.65)

При этом имеет место оценка
где Г , , Г= л^'/д.г (, ж.а* г
Доказательство . Пользуясь разностным аналогом второй Формулы Грина, можно убедиться, что оператор Л» самосопряжен. В этом случае доказательство существования и единственности решения, при выполнении условий (1.64) и (1.65), аналогично доказательству, приведенному в [3] (теорема 2).
Для получения оценки (1.66) умножим скалярно на и и,
воспользовавшись первой разностной формулой Грина, получим