Численное моделирование стационарных течений идеальной жидкости на адаптивных сетках

• Автор: Шокина, Нина Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 190 с. : ил.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. АЛГОРИТМ РАСЧЕТА НА АДАПТИВНЫХ СЕТКАХ ДВУМЕРНЫХ УСТАНОВИВШИХСЯ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
1.1. Математическая постановка задачи
1.2. Метод построения сеток в двумерных областях
1.3. Конечно-разностная схема и итерационный процесс.
1.4. Иллюстрация особенностей алгоритма на тестовых задачах
ГЛАВА 2. АЛГОРИТМ РАСЧЕТА НА АДАПТИВНЫХ СЕТКАХ
ТРЕХМЕРНЫХ УСТАНОВИВШИХСЯ ВНУТРИКАНАЛОВЫХ ТЕЧЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
2.1. Математическая постановка задачи о протекании жидкости через трехмерную область
2.2. Метод эквираспределения для построения трехмерных адаптивных сеток
2.3. Конечно-разностная схема для расчета трехмерных теченийНЗ
2.4. Результаты расчета течения в пространственной трубе с разворотом потока на 180°
ГЛАВА 3. ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА НА АДАПТИВНЫХ СЕТКАХ ПЛАНОВЫХ УСТАНОВИВШИХСЯ ТЕЧЕНИЙ В РАМКАХ МОДЕЛИ МЕЛКОЙ ВОДЫ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
3.1. Расчет установившихся течений в речных руслах в рамках модели мелкой воды первого приближения
3.2. Расчет стационарного обтекания острова в речном русле на основе плановой модели мелкой воды
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Введение
Бурное развитие вычислительной техники в последнее время позволило приступить к решению сложных задач, имеющих важное практическое значение. Численное моделирование установившихся течений жидкости в каналах и трубах производилось в большей части работ на основе модели вязкой несжимаемой жидкости. Широкое распространение получили основанные на уравнениях Навье-Стокса алгоритмы, использующие метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод конечных объемов, метод граничных элементов, спектральный метод и другие методы. Обзоры работ по этим алгоритмам приведены в книгах [4, 7, 8, 10, 36, 37, 39, 55, 56, 62, 78, 86].
Модель идеальной жидкости при моделировании стационарных внутриканаловых течений использовалась довольно редко, что связано с тем, что расчеты на основе этой модели не могут учесть влияние вязких эффектов. Однако при определенных соотношениях между размерами канала и скоростями потока жидкости некоторые характеристики течения вполне удовлетворительно описываются и моделью невязкой жидкости. Результаты расчетов на основе уравнений Эйлера можно использовать в качестве начального приближения для итерационных методов решения стационарных уравнений Навье-Стокса. Кроме того, при создании пакетов прикладных программ необходимо [9, 19], [34]—[36], [38, 40, 59, 95], чтобы в их функциональном наполнении присутствовали не только программные реализации сложных моделей, адекватно отражающих реальные явления, но и реализации более простых приближенных моделей, с помощью которых можно получать предварительное представление о характере течения и исследовать некоторые интегральные характеристики. Таким образом необходим целый набор моделей, что помогает более полно исследовать явление и позволяет.ответить на вопрос о том, какие стороны явления могут быть описаны простыми моделями, а в каких случаях не только желательно, но и необходимо использовать более сложные модели. В силу сказанного разработка надежных и эффективных алгоритмов расчета внутриканаловых течений в приближении модели идеальной жидкости продолжает оставаться актуальной проблемой.

Задача моделирования установившихся течений жидкости в рамках модели идеальной жидкости является достаточно сложной проблемой, несмотря на более простой вид уравнений этой модели по сравнению с уравнениями Навье-Стокса. Трудности связаны со смешанным типом системы уравнений Эйлера. Для стационарного случая эта система имеет эллиптико-гиперболический тип [52], поэтому стандартные методы [47, 48, 63, 95] решения чисто эллиптических или чисто гиперболических уравнений и систем уравнений тут неприменимы. Решение эволюционной системы на установление по времени, получающейся добавлением к исходным уравнениям производных по времени, также низкоэффективно ввиду отсутствия механизмов диссипации [118, 119]. В силу этого большее распространение получили итерационные методы решения непосредственно стационарных уравнений.
Численное моделирование двумерных течений идеальной жидкости проводилось, например, в работах [96, 97], при этом использовались декартовы координаты и прямоугольные сетки. В работах [22, 54] в качестве новых независимых переменных брались искомые зависимые переменные. К недостатку метода [50] можно отнести то, что он применим только для течений с небольшими изменениями направления потока, итерационные методы [22, 121] применимы при условии потенциальности внешних сил, методика работы [25] реализуется только для областей, составленных из прямоугольников. Переход к функции тока ф и завихренности жидкости и> — один из основных подходов при моделировании течений вязкой жидкости использовался и для расчетов двумерных течений идеальной жидкости (см., например, [96, 97, 121, 122]). Для областей сложной геометрии все указанные методы требуют дополнительной модификации, в частности, их обобщения на случай произвольной криволинейной сетки.
В работе [74] для расчета трехмерных установившихся течений идеальной несжимаемой жидкости в каналах использовался метод конечных элементов. Вихревые внутриканаловые течения численно исследовались методом конечных разностей в работах [98, 104, 105]. В последней работе предполагалось, что внешние силы потенциальны.
Если обратиться к работам по моделированию установившихся

В одномерном случае принцип эквираспределения и ЕБ1-уравне-ние эквивалентны в том смысле, что если отображение (1.2.5) удовлетворяет принципу эквираспределения (1.2.16), то функция х = х(д) будет и решением ЕБ1-уравнения (1.2.14) и наоборот, любое решение ЕВ1-уравнения (1.2.14) удовлетворяет принципу эквираспределения (1.2.16). При использовании аппроксимации (1.2.17) эквивалентность имеет место и на разностном уровне: если координаты узлов сетки удовлетворяют принципу эквираспределения (1.2.18), то сеточная функция х^ является решением разностных ЕБ1-уравнений (1.2.15) и наоборот, решение этих уравнений дает сетку, удовлетворяющую принципу эквираспределения (1.2.18).
Метод построения адаптивных сеток на основе уравнения (1.2.14) будем называть ЕЭ 1-методом для прямых отрезков.
Решение задачи (1.2.15), (1.2.1) можно найти, например, с помощью следующего итерационного процесса:
га+1 __ п

п+1 _ п+1 п+1 _ п+
т(тп j+1 "-І J І"
W{Xj+1/2 J W{Xj_ i/2 j
(1.2.19)
где r > 0 *—"*■ итерационный параметр, j — 2, ...,N — 1, а в качестве начального приближения х® можно взять равномерную сетку с шагом Ax = L/(N -1).
Когда итерационный процесс сойдется, координаты узлов построенной сетки будут удовлетворять равенствам
w(xj+1/2) — = ch = const, j = 1,..., N - 1, (1.2.20)
которые являются разностными аналогами (1.2.4), при этом
Ch = Е w(xj+1/2)(xj+1 - Xj) = L / Е -т-^ у (1-2.21)
j=1 / ^(жу+1/2)
Разностные уравнения (1.2.19) с краевыми условиями (1.2.1) решаются методом прогонки, которая в силу (1.2.3) хорошо обусловлена при произвольном значении итерационного параметра т. Как показали расчеты, сходимость итерационного процесса замедляется при