Численное решение некоторых нелинейных задач математического программирования

• Автор: Жужунашвили, Абрам Шалвович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 116 c. : ил

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

§ 1.1. Квадратичные задачи математического программирования

§ 1.2. Постановка вопроса устойчивости в задачах математического программирования

§ 1.3. Одно обобщение некоторых экстремальных задач

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ В ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

§ 2.1. Устойчивость в конечномерных задачах математического программирования

§ 2.2. Устойчивость в бесконечномерных задачах с ограничениями типа неравенств и равенств

§ 2.3. Устойчивость в задачах с ограничением, заданным

с помощью непрерывного оператора

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ РАССМАТРИВАЕМЫХ ЗАДАЧ

§ 3.1. Нахождение глобального минимума невыпуклых функций посредством выпуклых огибающих
§ 3.2. Метод нахождения локальных минимумов квадратичных задач математического программирования
§ 3.3. Расстояние по направлению между двумя множествами и алгоритмы его нахождения
ПРИЛОЖЕНИЕ
ВЫВОДЫ
ЛИТЕРАТУРА

Математическое программирование принадлежит к числу наиболее интенсивно исследуемых и используемых дисциплин. Несмотря на то, что эта дисциплина насчитывает более чем двухсотлетнюю историю, наиболее плодотворно она начала развиваться после сороковых годов двадцатого века. Это было связано, с одной стороны, с появлением большого количества задач, исходящих из экономики, которые нужно было решать с использованием математического аппарата, а также с появлением ЭВМ, которые дали возможность для численной реализации различных методов и алгоритмов.
Жак было уже отмечено, в конце сороковых годов напелся новый этап развития методов оптимизации. Возникли такие области математического программирования, как линейное, выпуклое, квадратичное, геометрическое, нелинейное, а также стохастическое программирование. Эта последняя область появилась попозже, в начале 60-ых годов, в связи с дальнейшим применением математических методов в экономике, социологии, биологии и военном деле. Стохастическое программирование является наиболее приспособле-мым в задачах с неполной информацией.
Из перечисленных выше разделов математического программирования лучше других развито линейное программирование. В этой области достигнуты большие успехи, разработаны такие универсальные алгоритмы, как симплекс-метод Дж.Данцига [16] . Разработанные в этом разделе методы позволяют решать широкий круг практических задач, сводящихся к задачам линейного программирования. Методам линейного (а также нелинейного) программирования посвящены превосходные монографии [II ] ,[16 ],[33] , в которых изложена на только теория, но и применения этих методов в теории игр и экономике.

Одним из наиболее развитых разделов является также выпуклое программирование. В задачах этой области особо важную роль играет теория двойственности, основанная либо на понятии сопряженных функций, либо на функции Лагранжа. В последние годы классическое понятие сопряженной функции было обобщево на более широкий класс функций, а вместо функции Лагранжа во многих работах рассматриваются различные модифицированные функции Лагранжа. Фундаментальные результаты выпуклого программирования полу-ч ены в работах Р.Рокафелларз [48 ] , Б.Н.Пшеничного ІЛ6 ] | я.р. Гольштейна [і4-], К.Дж.Эрроу, Л.Гурвицз и Х.Удзавы , а также других авторов.
Основным фактором, дающим возможность получения интересных результатов в выпуклом программировании, является то, что любой локальный минимум здесь одновременно и глобальный. Что же касается нелинейного программирования в общем, то тут дела обстоят иначе. Метода нелинейного программирования, практически важного разделе математического программирования, развиты намного слабее. Несмотря на то, что предложено большое число методов поиска экстремума, распространение получили лишь немногие из них, причем область их применения весьма ограничена. Поэтому каждый новый алгоритм для невыпуклых задач, охватывающий достаточно широкий класс задач, имеет весьма ценное значение.
Б развитии нелинейного программирования фундаментальное значение имеют необходимые условия экстремума, данные Г.Куном и А.Тзккероы Г27 ] . а.Я.Дубовицким и А.А.Милютиным [і8 ] была предложена схема, использующая аппарат функционального анализа, с помощью которой можно получить необходимые условия экстремума для разных типов экстремальных задач. В этой же работа получены весьма общие результаты, касающиеся существования и единственности решения.

КХА)
^(х) , если ||0С-Хіг(|^'(^и-> Цх) , если Ц ОС-ЗС^Н <Са)и. ,

) ІІос-ос^|( <.со^/2,3
1сі|ад+(і-^)[ед+/1(и")-^зс^ у<||ос-хІ<«| рс=ы^+й- о0£, ііі£-хі=%
о/б(0;і).
Покажем, что ^(0С;СОуС)£(эс) равномерно по X при .
На самом деле, если ІІХ-Х^Ц > СОуг , то это очевидно; при ИОС-ХЧІ «С0„/2 тіееи П(ОС,Юк)-|(«)|=|/<Ы-^|->0. Рассмотрим последний случай сО^/2, <Ц0С-ОС^Ц <СО^ ж тогда X
’ ГД0
Поэтому мы будем иметь:
|М] . Но так как Ц^'Мі'

<^1г'

ИЗ^-[о(^+(1-^)^]|| ^ {^-*0 , Ю из-за равномерной непрерывности $(рс) на ч*о(0) мы получаем, что %($)-
+а-ойз^о. ^Й-К^1+М)ЗГН° (с некоторого номера VI точки принадлежат к любой окрестности
0,^) множества 61 д ) .Из вышесказанного вытекает, что
И Ш+МЭД ' £(<*£+&-«№ и ы 1 Ш
при VI-^>оо # таким образом, равномерная сходимость ^(ОС^оОк) к