Аддитивные алгоритмы решения жестких систем на основе (m,k) - методов

• Автор: Тузов, Антон Олегович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 104 с.

1 Методы второго порядка точности
1.1 Основные понятия и определения
1.2 Численная схема второго порядка для автономных систем
1.2.1 Условия второго порядка точности
1.2.2 Исследование устойчивости
1.2.3 Связь схемы второго порядка с явным методом Рунге - Кутта и
(га, к) - методом
1.2.4 Контроль точности вычислений
1.2.5 Контроль устойчивости
1.3 О применимости к неавтономным задачам схем, построенных для автономных задач
1.4 Численная схема второго порядка для неавтономных систем
1.5 Анализ результатов расчетов
2 Методы третьего порядка точности для автономных систем
2.1 Численная схема
2.1.1 Условия третьего порядка точности
2.1.2 Исследование устойчивости
2.1.3 Контроль точности и устойчивости
2.1.4 Связь схемы 1 с явным методом Рунге - Кутта и (т, к) - методом
2.2 Численная схема
2.2.1 Условия третьего порядка точности
2.2.2 Исследование устойчивости
2.2.3 Контроль точности и устойчивости
2.3 Численная схема
2.3.1 Исследование устойчивости
2.3.2 Контроль точности и устойчивости
2.4 Анализ результатов расчетов

3 Методы третьего порядка точности для неавтономных систем
3.1 Численная схема
3.1.1 Условия третьего порядка точности
3.1.2 Исследование устойчивости
3.1.3 Контроль точности и устойчивости
3.2 Численная схема
3.2.1 Условия третьего порядка точности
3.2.2 Исследование устойчивости
3.2.3 Контроль точности и устойчивости
3.3 Анализ результатов расчетов
Заключение
Список использованных источников
Приложение 1

При решении ряда задач, таких как проектирование радиоэлектронных схем, моделирование кинетики химических реакций, расчет динамики механических систем и других возникает необходимость численного решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений
у' = Жу)> у{к)=Уо, к<1< 1к, (0.0.1)
где у и / - вещественные N - мерные вектор - функции, у0 - начальное условие, ^ -независимая переменная, которая меняется на заданном конечном интервале. Учет все большего числа факторов при построении математических моделей физических процессов, имеющих компоненты с сильно различающимися временными константами, приводит к жестким системам обыкновенных дифференциальных уравнений все большей размерности. Кроме того, для некоторых задач правая часть может быть разрывной.
Несмотря на рост быстродействия ЭВМ, сложность задач, возникающих на практике, опережает развитие вычислительной техники, что повышает требования к вычислительным алгоритмам. Поэтому проблема создания эффективных численных методов решения задачи Коши для жестких систем большой размерности является актуальной.
Для построения эффективных алгоритмов интегрирования необходимо
1) выбрать методы, соответствующие классу решаемых задач,
2) решить ряд вопросов, связанных со способом управления величиной шага и оценкой точности получаемых результатов.
Каждый из предложенных в данной работе методов основывается на двух численных формулах явной и неявной. Из них строится метод, называемый аддитивным [1-4,50-55]. Для применения аддитивного метода правая часть / исходной дифференциальной задачи (0.0.1) разбивается на две части /(1, у) = <р(1,у) + д(Ь,у), которые будем называть ’’нежесткой” и ’’жесткой”, соответственно. Аддитивный метод строится так, что явный метод используется для решения задачи с ’’нежесткой” частью у?(<,2/), а неявный - с ’’жесткой” у(1,у). Поэтому, говоря о методе, ’’жесткую” часть д(Ь, у) будем называть неявный частью, а ’’нежесткую” часть (1, у) - явной. В качестве неявной составляющей аддитивного метода используются (т, к) - методы [5-20], а в качестве явной - явные методы типа Рунге - Кутта. Таким образом, в основу алгоритмов интегрирования положены одношаговые безытерационные методы вида
Уп+1 = Уп + уп, Л), п = 0,1,2

Подставляя седьмое уравнение (2.2.8), а также (2.2.9) и (2.2.17) в первое равенство (2.2.8), выразим р.(
Рз = (-6а37 + 2о2(7 - 1) + а(47 + 1) - 7)/(6аи).
Теперь с использованием (2.2.10), имеем
Рз = (-2а2(87 + 1) + а(137 + 1) - 27)/(баи).
Из (2.2.9), (2.2.12) и (2.2.16), запишем А = 0.5а(2а2 -4а + 1)/(1 - 2а).
Отсюда с применением (2.2.10) имеем А = (6а2 - 6а + 1)/(б — 12а).
Из последнего уравнения, одиннадцатого равенства (2.2.8)
Ан - а2/(1 - 2а), и равенства
А = р64 +
следует
/?С5 = —(6а — 1)/(6 — 12а).
Из (2.2.9), (2.2.10) и (2.2.11) получим
А»з = а/(6а2-6а + 1). (2.2.18)
Подставим /?б4 =а2/(1 — 2а), (2.2.9) и (2.2.16) в (2.2.15). Воспользовавшись (2.2.10), имеем
Аз = (-2а272 + 2(53а2 - 35а + 4)7 + 142а2 - 86а + 9)/(б(-18а2 + 10а - 1)).
Теперь получим соотношение для определения коэффициента 7. Из четвертого и пятого соотношений системы (2.2.8) получим
А = 2(1-А2з)/(3-2Аз)-
Отсюда и из пятого уравнения (2.2.8), имеем
Рб= (3-2043)7(12-12#3).
Подставляя сюда (2.2.18) и применяя (2.2.10), запишем
_ 994а2 - 72а37 + 4а27(7 + 16) - 4а(7 + 143) + 67 Рй ~ 12 (102а2 - а2(7 - I)2 - 2а(7 + 29) + 6) ' ( • • )