Устойчивые итерационные методы градиентного типа для решения нерегулярных нелинейных операторных уравнений

• Автор: Козлов, Александр Иванович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Йошкар-Ола
• Количество страниц: 122 с. : ил.

ГЛАВА I. УСТОЙЧИВЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ РЕШЕНИЙ НЕРЕГУЛЯРНЫХ
НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Об основных подходах к построению итерационных методов аппроксимации решений нерегулярных нелинейных
уравнений с гладкими операторами
§ 2. Класс устойчивых итерационных методов решения нелинейных некорректных
операторных уравнений
§ 3. Примеры построения итерационных процессов
§ 4. Устойчивый метод градиентного типа для аппроксимации решений нерегулярных
нелинейных уравнений
§ 5. Построение итерационных методов решения
неггинрйныу.уравнений с пониженными
требованиями к гладкости оператора
§ 6. Анализ условий основных теорем
§ 7. О применении алгоритмов построения
устойчивых итерационных методов к
нелинейным интегральным уравнениям
§ 8. Обсуждение результатов главы
ГЛАВА II. УСТОЙЧИВЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ КВАЗИРЕШЕНИЙ НЕРЕГУЛЯРНЫХ
НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Класс устойчивых итерационных методов для
отыскания квазирешений нерегулярных
нелинейных уравнений
§ 2. Градиентно-проекционный метод для
нахождения квазирешений нерегулярных нелинейных уравнений на выпуклом
замкнутом множестве
§ 3. Вариант градиентно-проекционного метода для
нахождения квазирешений нерегулярных
нелинейных уравнений
§ 4. Обсуждение результатов главы II
ГЛАВА III. ПРИЛОЖЕНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ К ОБРАТНЫМ ЗАДАЧАМ ГРАВИМЕТРИИ И АКУСТИКИ ,
§ 1. Обратные задачи гравиметрии
§ 2. Применение устойчивых итерационных
процессов к задачам гравиметрии
§ 3. Численные эксперименты с обратными
задачами гравиметрии
§ 4. Постановка обратной задачи
акустического рассеяния
§ 5. Применение устойчивых итерационных методов в обратной задаче
акустического рассеяния
§ 6. Численные эксперименты с обратной
задачей акустики
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПМТТГРЛТУРА
В последние десятилетия активно развивается направление вычислительной математики, посвященное построению приближенных методов решения нерегулярных операторных уравнений в гильбертовых и банаховых пространствах. Интерес к изучению таких уравнений в бесконечномерных пространствах возник в связи с бурным развитием теории и практики обратных задач математической физики и определяется тем обстоятельством, что подобные задачи в большинстве случаев моделируются именно нерегулярными операторными уравнениями. Достаточно полный обзор современного состояния теории нелинейных обратных задач и методов их решения содержится в монографиях [1, 2, 16, 27-29, 47, 51, 52, 65, 67, 78, 81, 83]. Поскольку источником исходных данных в этих задачах на, практике обычно служат измерения и эксперименты, операторы получаемых уравнений как правило бывают известны с той или иной погрешностью.
Объектом изучения в работе являются нелинейные операторные уравнения вида
F(x) = 0, х е Нг, (1)
где F: Hi -> #2 ~ дифференцируемый по Фреше оператор, Яь Яг - гильбертовы пространства. В тех случаях, когда разрешимость уравнения (1) не гарантируется, естественным обобщением (1) является задача отыскания квазирешения уравнения (1) на множестве Q, т. е. точки х* G Q, являющейся решением задачи
ram ф(х), ф(х) = ^ (| F(x) 11'2. (2)
Квазирешения я* € Q, для которых выполняется равенство F(x*) = 0,
совпадают с решениями уравнения (1). Здесь и далее в работе через Ц®|| обозначается норма элемента х Е X в пространстве X, вид которого обычно ясен из контекста.
В теории численных методов решения нелинейных уравнений задача (1) и соответствующая ей экстремальная задача (2) называются регулярными, если линеаризация оператора F(x) в окрестности решения (квазирешения) х* хорошо приближает F(x) в близких к х* точках [11, с. 16]. Всюду в работе регулярность (нерегулярность) задач (1), (2) и соответствующего оператора F{x) будем понимать в смысле следующего определения, конкретизирующего вышеприведенное условие.
Определение 1. Задача (1) (задача (2)) называется регулярной в окрест ности решения (квазирешения) х*, если для всех точек х из окрестности

Здесь Ф(х) есть по существу сужение оператора Р на подпространство
Мг = {х € М: х = у + х, у £ М}.
Будем считать, что оператор Ф: М —> Н2 дифференцируем в точке Рмх. Подобно (5.16) обозначим
Дз = ||Ф'(^*)-Ф'(ад||.
Пусть вместо условия 5.2 выполняется условие
Кег(Ф'(Рмх)) = {0}. (5)
Следствием (5) является соотношение
Ш2 = , , №(рмх)Ч > о.
Следующая теорема может рассматриваться как аналог теоремы 1, относящийся к случаю оператора Р(х), дифференцируемость которого в открытой окрестности решения не предполагается.
Теорема 2. Пусть для некоторой точки х 6 Н и конечномерного подпространства М выполняется условие (5), величина Д3 удовлетворяет условию
Лз < у- (6)
Тогда выполняется условие 5.2.
Доказательство. Используя (6), получаем
- вир || (У'(РМх) - ФЧ^А/Ж*))*-!) = ш2 - Дз > лем,№11=1
Теорема доказана.
В некоторых случаях (см., например, §3.2) для величины Дз удается получить оценку вида
Дз<С?||(/-^А/)(**-*)||. (7)
Оценка (7) означает, что малость Дз может быть обеспечена, если мала величина 11(7 — Рм) (х* — ж)||. Последнее достигается подходящим выбором пробной точки х и подпространства М. ■