Равномерные по параметру многосеточные и итерационные методы

• Автор: Ольшанский, Максим Александрович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 285 с. : ил.

1 Уравнения и системы уравнений в частных производных
1.1 Уравнения реакции-диффузии
1.1.1 Априорные оценки
1.2 Уравнения конвекции-диффузии
1.2.1 Априорные оценки и зависимости вдоль линий тока
Случай условий Неймана на Г£
Случай условий Дирихле на Гя
Оценка на близость решений задач Дирихле и Неймана
Зависимость против потока и оценки вдали от Ге
1.3 Система уравнений с кососимметричной реакцией
1.3.1 Априорные оценки
1.4 Обобщённая система Стокса
1.4.1 Априорные оценки
1.4.2 Краевые условия на вихрь и задача для давления. . 53 Определения и вспомогательные утверждения. ... 53 Задача с граничными условиями на вихрь
1.4.3 Обобщенное неравенство Нечаса
1.4.4 Теорема о перемежаемости опрераторов Шура
1.4.5 Оценки для стабилизированной задачи Стокса. ... 65 Вспомогательные результаты из линейной алгебры. 65 Вспомогательные результаты для абстрактной вариационной задачи
Оценки для непрерывного оператора
1.5 Задача Стокса с интерфейсом
1.5.1 ГпГэир-условие устойчивости

1.5.2 Априорные оценки
1.6 Система Навье-Стокса
1.6.1 Различные формы системы
1.6.2 Неявные схемы
Схема для нестационарной задачи
Схема для стационарной задачи
1.6.3 Некоторые вспомогательные неравенства
1.7 Системы типа Осеена
1.7.1 Априорные оценки
1.7.2 Оценки для оператора давления
1.8 Выводы
2 Устойчивые методы конечных элементов
2.1 Уравнения реакции-диффузии
2.1.1 Сходимость
2.2 Уравнения конвекции-диффузии
2.2.1 Метод диффузии вдоль потока - конечных элементов
2.2.2 Матрица жесткости
2.2.3 Априорные оценки для дискретной задачи
Зависимость против потока и оценки вдали от IV
2.2.4 Сходимость
2.3 Система уравнений с кососимметричной реакцией
2.3.1 Устойчивость дискретной задачи
2.3.2 Сходимость
2.3.3 Численная иллюстрация
2.4 Обобщённая система Стокса
2.4.1 Устойчивые дискретизации
2.4.2 Сходимость
2.4.3 Эффект УсИу стабилизации
2.4.4 Численная иллюстрация
2.5 Задача Стокса с интерфейсом
2.5.1 Шэир-условие устойчивости
2.5.2 Оценки для решения
2.5.3 Сходимость
2.6 Система Осеена
2.6.1 БиРС метод конечных элементов
2.6.2 Метод без стабилизации давления
Оценка устойчивости схемы
Сходимость и выбор параметров
Анализ с модифицированным LBB условием
2.6.3 Метод со стабилизацией давления
Оценка устойчивости схемы
Сходимость и выбор параметров
Анализ для случая LBB устойчивых аппроксимаций
2.6.4 Численная иллюстрация
2.7 Система Навье-Стокса
2.7.1 Пример дискретизации
2.7.2 Примеры расчетов
Задача о движущейся каверне
Задача о течении за ступенькой
2.8 Выводы
3 Анализ итерационных методов
3.1 Многосеточные методы
3.1.1 Вспомогательные леммы для свойства сглаживания
3.2 Уравнения реакции-диффузии
3.2.1 Свойство аппроксимации
3.2.2 Свойство сглаживания для базовых итераций
3.2.3 Универсальная сходимость V- и W-циклов
3.3 Уравнения конвекции-диффузии
3.3.1 Свойство аппроксимации
3.3.2 Свойство сглаживания
3.3.3 Поведение сглаживающих итераций около границ
втекания и вытекания
3.3.4 Универсальная сходимость W-цикла
3.3.5 Численные примеры
3.4 Система уравнений с кососимметричной реакцией
3.4.1 Свойство аппроксимации
3.4.2 Свойство сглаживания для блочного метода
Якоби
3.4.3 Универсальная сходимость W-цикла
3.4.4 Численные примеры
3.5 Обобщённая система Стокса
3.5.1 Несколько итерационных методов
Метод Узавы
Неточный метод Узавы
1.4. Обобщённая система Стокса.

Определим к := тЦгиЦ^1. Используем далее равенство ||ш X у[|||и|| = (кгЦщ х у||)(к_2 ||и||) и применим к (1.58) неравенство Коши-Шварца, получаем
Мы доказали (1.56). Если условие (А1) выполняется, то благодаря (1.44) получаем
Получая последнее неравенство из (1.60), мы использовали условие (А1):
Из оценок (1.58), (1.60) и неравенства Коши-Шварца мы получаем (1.57). □
1.4 Обобщённая система Стокса.
Пусть И - ограниченная область віі, сI — 2,3, с липшицивой границей дО. Рассмотрим в О систему дифференциальных уравнений
||ш х у|| ||и|| < ||ш х у||—(а||и|| + ||и> х и||)
С* -"Г Сц)
< Ст{кї\ні х У||)(а||и||2 + «Цю X и||2)І
1 / 1 _1 ч О і і
2(а2 -І-к 2) < 2К + 2а о/, Н- Сщ си, + Сц)