Восстановление граничной функции в задаче распространения поверхностных волн в открытой акватории

• Автор: Дементьева, Екатерина Васильевна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 123 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 О корректно и некорректно поставленных задачах

1.1 О корректной постановке граничных условий для уравнений мелкой воды

1.2 Обзор методов решения некорректных и обратных задач

2 Обратная задача о восстановлении граничной функции для уравнений мелкой воды в открытой акватории

2.1 Дифференциальная постановка задачи

2.1.1 Начально-краевая задача для уравнений мелкой воды

2.1.2 О корректной постановке краевых условий для уравнений мелкой воды

2.1.3 Обратная задача о восстановлении граничной функции

для уравнений мелкой воды
2.2 Слабая постановка задачи. Теорема существования и единственности
2.2.1 Функциональные пространства и нормы
2.2.2 Доказательство разрешимости задачи
2.3 Задача оптимального управления с регуляризацией
2.3.1 Задача на минимизацию функционала
2.3.2 Поиск граничной функции из пространства Ь±{Г2)
2.3.3 Поиск граничной функции из пространства И^ДГг)
1 /о
2.3.4 Поиск граничной функции из пространства IV2 (Гг)
2.3.5 Сходимость решения регуляризированной задачи оптимального управления к решению обратной задачи

2.4 Итерационный численный алгоритм. Теорема о сходимости
3 Численные эксперименты
3.1 Численное решение прямой задачи
3.1.1 Дискретизация по пространству
3.1.2 Численное решение прямой задачи
3.2 Численные эксперименты по восстановлению граничной функции по модельным данным наблюдений
3.3 Параллельная реализация
3.3.1 Оценка потенциального ускорения параллельного алгоритма с использованием технологии MPI
3.3.2 Оценка потенциального ускорения параллельного алгоритма с использованием технологии ОрепМР
3.3.3 Исследование ускорения параллельной MPI-программы на высокопроизводительных кластерных системах
3.3.4 Сравнение двух реализаций MPI и стратегий управления памятью
3.3.5 Сравнение ускорений параллельных версий программы: ОрепМР, MPI и их совмещения МР1+ОрепМР
Заключение
Список литературы

Введение
Диссертационная работа посвящена разработке, исследованию и реализации численного алгоритма решения обратной задачи о восстановлении граничной функции для уравнений мелкой воды в открытой акватории.
Актуальность темы исследования. Описание динамики распространения поверхностных волн в открытых акваториях, связанных с мировым океаном, является актуальной задачей численного моделирования. Широко распространены модели на основе уравнений мелкой воды [34-36, 46, 72, 96, 98, 103,104, 110, 120, 122, 123, 125, 139, 149]. Введение в модель открытой границы по морю позволяет учитывать влияние океана на рассматриваемую область, которое обычно описывается граничной функцией в краевом условии [13, 133, 134, 136-138, 147, 167]. На практике граничная функция, как правило, неизвестна и ее следует найти вместе с другими неизвестными модели (скоростями и возвышением свободной поверхности). В связи с этим актуальна обратная задача о восстановлении граничной функции с использованием дополнительной информации, полученной в ходе наблюдений за поведением свободной поверхности на границе по морю. При разработке методик решения обратной задачи необходимо учитывать, что данные наблюдений могут быть известны только на части открытой границы или с некоторой погрешностью. Такие задачи в большинстве случаев некорректны, поэтому для их решения с приемлемой точностью необходимо использовать методы решения некорректных задач [1,2,4-8,14-16,20,22,29,30,45,62,67-71,85,86,105,113,116,117,127,130,145,152].
Численное решение обратной задачи о восстановлении граничной функции требует большого объема вычислений, что делает актуальным создание эффективного параллельного программного обеспечения [11,12,17,32,33,37— 40,64-66,82,83,92,94].
В диссертационной работе для дискретизированных по времени уравне-

Область определения оператора Д1/2 с нормой (2.20) и скалярным произведением
(и, и) 1/2 = (щ у)ЫГ2) + (^/2и^1/2и)ЫГ2) (2-21)
/О
является гильбертовым пространством 1У2 (Гг), т.е. пространством интер-

полиции с индексом 1/2 пары [И^Гг), -^(Гг^/г := [132].
В И^^О-г) можно также рассмотреть эквивалентную норму:
2 !/
и 1/2и I . (2.22)
МЙ/2 =
Ьг Рассмотрим пространство Соболева И/ДИо) для функций и(Х, (р), заданных в области Оо плоскости (Л, Д. Определим скалярное произведение и норму в пространстве
. . [ ( ди дь ди ди ,1/
{и, у)Щ{По) = J + — — + ——у о И ||и||^1(По) - (и, и)щ{п0у

(2.23)
2.2.2 Доказательство разрешимости задачи
Для действительных вектор-функций Ф = (и, Ц, £) и Ф = (й, V, £) из (ІДИ))3 рассмотрим скалярное произведение [133]
(Ф, Ф) = JВ.% эт у? (ий + уу) + с1(1<р

и норму
||Ф|| = (Ф,Ф)1/2 < оо. (2.24)
Эта норма характеризует полную энергию течения, где слагаемые с и2 и у2 соответствуют кинетической энергии, а с £2 — потенциальной. Множители перед ними появляются при переходе от декартовых координат на поверхности «Земли» к сферическим координатам.
Сначала рассмотрим прямую задачу с заданной функцией сі.
Для интегральной формулировки задачи рассмотрим скалярное произведение в (Ьг(і2))3 уравнений системы (2.12) на соответствующие компоненты произвольной вектор-функции У = (юи, и)1’, го?) Є У = (ІДП))2 х И/Д^)