Исследование (m,k)-методов с L-устойчивыми промежуточными схемами для решения жестких систем

• Автор: Двинский, Антон Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 150 с.

Глава

Исследование (то, к) -методов

1. Основные определения

2. (то, к) -методы

3. Максимальный порядок точности (то, к) -методов с аналитическим вычислением матрицы Якоби

4. Максимальный порядок точности (то, к) -методов с замораживанием матрицы Якоби

5. Построение неравенства для контроля точности вычислений

6. Алгоритмы интегрирования

Глава

Алгоритмы интегрирования с аналитическим вычислением матрицы Якоби

1. (2,1)-метод второго порядка точности

2. (2,2)-метод второго порядка с внутренней к -усточивостыо
3. (3,2)-метод третьего порядка с внутренней Ь -устойчивостью
4. (4,2)-метод третьего порядка с внутренней Ь- устойчивостью
5. (5,2)-метод четвертого порядка с внутренней Ь -устойчивостью
6. (6,3)-метод пятого порядка
7. (6,3)-метод пятого порядка с внутренней Ь -устойчивостью
8. Анализ результатов расчетов
Глава
Алгоритмы с замораживанием матрицы Якоби
1. (2,2)-метод второго порядка
2. (3,2)-метод третьего порядка
3. Анализ результатов расчетов
Глава
Алгоритмы переменного порядка
1. Метод переменного порядка с переключением по оценке локальной ошибки
2. (т, к) -методы с одной матрицей для нахождения стадий
3. Анализ результатов расчетов
Заключение
Список использованных источников
Приложение

Во многих приложениях, таких как химическая кинетика, радиоэлектроника и других, возникает необходимость численного решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Стремление ко все более точному описанию физических процессов приводит к постоянному росту размерности и жесткости соответствующей системы дифференциальных уравнений и предъявляет все возрастающие требования к методам интегрирования. Применение многошаговых схем в некоторых случаях нежелательно из-за эффекта "срезания экстремумов". Реализация неявных методов Рунге-Кутты сложна и приводит к итерационному процессу для нахождения стадий. В работах [1]-[4] предложен способ интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на локальном многочленном приближении, где также используется итерационный процесс. Применение явных методов типа Рупге-Кутты приводит к обременительному ограничению на размер шага интегрирования ввиду ограниченного размера области устойчивости. Построение явных методов с расширенными и согласованными областями устойчивости [5, 6] не способно полностью решить проблему.
При решении задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений широкое распространение получили методы типа Розенброка [7]. Данные численные формулы получены из полуявных методов типа Рунге-Кутты [8, 9], в которых при решении нелинейной системы алгебраических уравнений используется одна итерация метода Ньютона (см., например, [10]). В результате при вычислении каждой стадии вместо нелинейной системы алгебраических уравнений нужно решать линейную систему, а требуемая точность вычислений достигается за счет

Отсюда следует, что условия третьего порядка точности метода (2.3.1) имеют вид
1- Р1 + Р2 + (1 + а32)р3 = 1,
2. арх + 2ар2 + (а + /З31 + /З32 + Заа32)р3 = (2.3.3)
3. а2р! + За2р2 + (а2 + 2ар31 + 3 а/?32 + 6а2а32)р3 =
4- (Р31 + Рм)2Рз
Потребовав, чтобы локальная ошибка схемы (2.3.1) представлялась в виде
6п = СН4Г*/ + 0(1г5), (2.3.4)
где (7 - некоторая вычисляемая постоянная, получаем дополнительные
соотношения на коэффициенты метода, а именно
1. а(Р31 4- /З32)2р3 = —,
2. а(/?31 -Ь /З32) (/?31 + 2/?32)р3 = (2.3.5)
3. (/З31 + /5з2)3Рз
Исследуя совместность нелинейной системы алгебраических уравнений (2.3.3) и (2.3.5), получим следующий набор коэффициентов 1 5 16
Р1 ^ Р2 ~ д, РЗ — 27> а“4>
« 3 я 3
Р31 = Р32 = «32 = ”
при которых схема (2.3.1) имеет третий порядок точности и обладает специальным видом локальной ошибки.
Чтобы определить свойства устойчивости схемы (2.3.1) с указанными коэффициентами, применим (2.3.1) к решению линейного скалярного урав-