Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм для решения электромагнитных задач дифракции на плоских экранах

• Автор: Медведик, Михаил Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Место защиты: Б.м.
• Количество страниц: 107 с. : ил.

0. Введение

1. Теория уравнения электрического поля

1.1 Постановка задачи дифракции на экране

1.2 Свойства решения уравнения электрического поля

1.3 Некоторые аналитические решения скалярных уравнений

1.4 Операторы, эллиптические на подпространствах

2. Субиерархический параллельный алгоритм решения уравнения электрического ноля

2.1 Метод Галеркина

2.2 Сходимость метода Галеркина для уравнений с операторами, эллиптическими на подпространствах
2.3 Свойство аппроксимации подпространств базисных функций ИМТ;. Теорема о сходимости метода

2.4 Субиерхичсский параллельный вычислительный алгоритм

3. Численные результаты решения уравнения электрического поля
3.1 Решения задачи дифракции на прямоугольном экране
3.2 Решение задачи дифракции на экранах сложной формы
Список литературы
Настоящая работа ' посвящена аналитическому и численному исследованию векторных электромагнитных задач дифракции на незамкнутых поверхностях - экранах. Это - задачи дифракции стороннего электромагнитного поля на идеально проводящих тонких экранах. Интерес к задачам дифракции возник давно, и они являются, по существу, классическими в электродинамике. Традиционная (физическая) теория дифракции создавалась на протяжении нескольких столетий X. Гюйгенсом, О. Френелем, Г. Гельмгольцем, Г.Р. Кирхгофом, Д. Лармором и другими авторами. Для понимания волновых процессов и расчета дифракционных полей большое значение имеет принцип Гюйгенса, согласно которому распространение волн обусловлено действием вторичных источников. Френель уточнил принцип Гюйгенса, приняв во внимание интерференцию сферических волн, излучаемых вторичными источниками. Дальнейшее уточнение принципа Гюйгенса -Френеля принадлежит Кирхгофу, который дал его строгую формулировку, основываясь на уравнении Гельмгольца. В современной теоретической оптике приближенное решение дифракционных задач производится почти исключительно с помощью принципа Г юйгенса - Кирхгофа. Электродинамическая (векторная) формулировка принципа Гюйгенса была дана Котлером.
Однако благодаря работам А. Пуанкаре и А. Зоммерфельда стало ясно, что в задачах дифракции электромагнитных волн речь идет о некоторой краевой задаче математической физики. В общей постановке задача состоит в нахождении решений уравнений Максвелла, удовлетворяющих определенным краевым условиям. К этому надо добавить «условия излучения» (Зоммерфельд, 1912), состоящие в том, что вся энергия, излучаемая источником, должна уходить в бесконечность. Кроме того, следует учитывать особое поведение полей в окрестности края поверхности тонкого экрана. Первое аналитическое решение задачи дифракции на идеально проводящей полуплоскости было дано Зоммерфельдом [16, 17]. Уже это решение позволило сделать ряд важных

выводов о поведении электромагнитного поля в ближней и дальней зоне, об особенности полей в окрестности края тонкого экрана, о поведении полей на бесконечности и т.д.
Задача, которая рассматривается в настоящей работе, эта задача дифракции электромагнитного поля на идеально проводящем тонком ограниченном экране. Наиболее естественный подход к решению этой задачи -сведение ее к векторному интегродифференциальному уравнению на экране [45]. Такой подход часто называют методом поверхностных токов. Идея метода поверхностных токов принадлежит А. Пуанкаре (в акустических (скалярных) задачах этот метод разрабатывался Релеем (1897)). • Впервые векторное интегродифференциальное уравнение на экране было получено А. Мауэ в 1949 году [56]. В наших обозначениях это уравнение имеет вид:
где Div - операция .поверхностной дивергенции, А - интегральный оператор
и - касательное к поверхности экрана П векторное поле (плотность поверхностного тока). Индекс г показывает взятие касательных компонент к Q соответствующего векторного поля. Центральной проблемой при исследовании разрешимости уравнения (0.1) является выбор пространств для решений и для правых частей таким образом, чтобы обеспечить фредгольмовость (и, если удастся, однозначную разрешимость) этого уравнения в выбранных пространствах. Кроме того, пространства решений должно быть достаточно широким и содержать все физически допустимые поля.
Изучение уравнения (0.1) было начато уже в работе А. Мауэ [56]. Позднее в фундаментальной монографии Hönl H., Maue A. W., Westpfahl K. Theorie der Beugung, Springer-Verlag, 1961 (см. перевод [45]) была доказана теорема единственности для решений уравнения (0.1) (и краевой задачи дифракции), исследовано поведение дифракционных полей на бесконечности и
Lu:=GradtA{Divu)+k1A'it = /, гей,
(0.1)
А'-Я
(0.2)
1 Рг и2 ~Г Г Г; 2 С(и)с1и = р.
л/л о д/Р -«

Так как = с!и = р, то
О л/ Р2
Подставим полученное выражение в (1.3.59)

(1.3.61)
(1.3.62)
(1.3.63)
Подставив в формулу (1.3.63.) выражение (1.3.35) для оператора К , получим
(1.3.64)
Я?,(р) = -2-у- ( , Ли

^1п(і+л/і-р2 |-1пр
и окончательно
и(р)=”

(1.3.65)
л/1-Р2(1 +л^1-Р2) р
Учитывая, что остальные коэффициенты ряда Фурье для решения равны 0, получаем
и(р,ф)

(1.3.66)
Аналитическое решение для правой части #(р,ф) = р2е ,ф
Коэффициенты ряда Фурье функции g(p,ф) имеют вид:
£,(р)
?Др) = 0, А:*1
Воспользовавшись формулой (1.3.39), получаем
(1.3.67)