Численный метод определения дисперсионных кривых и собственных волн оптических волноводов

• Автор: Корнилов, Глеб Петрович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 130 с. : ил.

0.1 Математические модели оптических волноводов
* 0.2 Существование решений
0.3 Краткий обзор численных методов
0.4 Обзор диссертационной работы
ф 1 Метод Галеркина с возмущениями для задач на собственные значения
1.1 Обобщенная задача на собственные значения
1.2 Метод Галеркина с возмущениями
1.3 Краткий обзор известных оценок точности
1.4 Оценки точности
2 Скалярная задача
2.1 Обобщенная формулировка задачи
•ф 2.1.1 Спектральная задача на плоскости
2.1.2 Задача в ограниченной области
2.1.3 Свойства операторов
2.2 Существование решений. Свойства дисперсионных кривых
2.3 Явный вид оператора 5(д) в случае круга
2.4 Гладкость собственных функций
* 2.5 Множество решений задачи Тоо- Точки отсечки
2.6 Приближенное решение задачи
2.6.1 Пространство конечных элементов

2.6.2 Формулы численного интегрирования
2.6.3 Дискретная задача. Свойства решений
2.7 Оценки точности
2.7.1 Оценки погрешности численного интегрирования
2.7.2 Оценки погрешности возмущений
2.7.3 Оценки точности приближенных решений
3 Векторная задача
3.1 Эквивалентные постановки задачи
3.1.1 Линейная спектральная задача на плоскости
3.1.2 Нелинейная задача на собственные значения в круге
3.1.3 Линейная задача на собственные значения в круге
3.2 Свойства форм и операторов
3.3 Существование решений. Свойства дисперсионных кривых
3.3.1 Гладкость собственных функций
3.4 Множество решений задачи (-Р0о)- Точки отсечки
3.5 Дискретная задача
3.6 Свойства дискретных форм и операторов
3.7 Оценки точности
3.7.1 Оценки возмущений формы а
3.7.2 Оценки возмущений формы b
3.7.3 Оценка точности приближенных решений
4 Результаты численных экспериментов
4.1 Некоторые аспекты программной реализации
4.2 Волновод кругового поперечного сечения
4.3 Волновод квадратного поперечного сечения
4.4 Волновод прямоугольного поперечного сечения
4.5 Волновод с поперечным сечением из трех кругов
Литература

В настоящей работе предлагается и исследуется новый подход к расчету дисперсионных кривых и собственных волн изотропных цилиндрических оптических волноводов без потерь.
0.1 Математические модели оптических волноводов
Оптический волновод, как объект изучения в теории диэлектрических волноводов, представляет собой диэлектрическую цилиндрическую структуру, по которой может распространяться электромагнитная энергия в видимой и инфракрасной областях спектра. Реальные волноводы, используемые в оптической связи, представляют собой гибкие волокна из прозрачных диэлектрических материалов. Поперечное сечение таких волоконных световодов имеет размеры, сравнимые с размерами человеческого волоса, и обычно состоит из трех областей, как показано на рис.1. Центральная область — сердцевина — окружена оболочкой, котоРис. 1: Физическое строение диэлектрического волновода рая в свою очередь, окружена защитным покрытием. Диэлектрическая
где /с2 = /З2 — р2. Отсюда следует, что к2 монотонно возрастает с ростом р. Это доказывает утверждение Ь).
Первая оценка в с) следует из принадлежности (/3fc(p),p) множеству К. Пусть далее Вг — круг малого радиуса г с центром в точке х+ € 0«,
/ / г
е+ = e(a;+J = esssupe(a;), дг = ess sup ,
fij Br £00
Vr — множество функций из V, равных нулю вне Вг. Имеем в Вг:
с(х) = е(х)/е00 ^ е+/е0о,
т/ / 1 е+ 1 е+ еОО
а(я) — с[х) — 1 = 1 ^
U/y
^ОО ^00 ^ОО
и для любого v Е Vr:
.Л _ “(Р.“.”) , / /' |г,..|2^Л Р Г,.2,Л~1 , ' I /И
+1ф (219)
вг вт
Обозначим через А(? — собственные значения оператора Лапласа в круге £?г при краевых условиях Дирихле. Поскольку = r_2Af, то

Д?(р) = min max R~l(p,v) < min max R~l(p, v) < ~ —•
VkcVveVk v ’ vkcvT vevko v ' r2dr dr
Следовательно,
+ ^fco при r-> 0.
Переходя здесь к пределу по г -> 0, р —>- оо так, чтобы рг —> оо, получаем второе утверждение с).
Для доказательства d) положим в (2.18) к — 1 и, пользуясь независимостью /ЗДр) от выбора области Q (см. замечание 2.1), выберем Л = Вд D £2г-, м = 1 в £2. Далее будет показано, что (5(р)1,1) —» О при р —>• +0 (лемма 2.8). Имеем при р —>• +0:
Ь(и,и)
АЛр) = max mm R(p,v) ^ Rip, и) — -p—r— . 7 —>• +00,
v ' Vi кеУДО V ' 1 fp2cdx + (S(p) 1,1)

так как b[u,u) > 0. Отсюда следует, что/ЗДр) —»■ 0 при р -> 0. □