Построение и исследование кубатурных формул с пограничным слоем для интегрирования функций из пространств Wmp(En)

• Автор: Булгатова, Елена Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Улан-Удэ
• Количество страниц: 109 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Кубатурные формулы для областей с кусочно-гладкими
границами
§1.1 Кубатурные формулы для областей с гладкими
границами
§1.2 Построение кубатурных формул для эллипса
§1.3 Кубатурные формулы для области с кусочно-гладкой
границей
§1.4 Вычисление интеграла с помощью кубатурных формул,
содержащих значения функции и её производных
ГЛАВА 2. Весовые кубатурные формулы
§2.1 Основные понятия и определения
§2.2 Весовые кубатурные формулы с пограничным слоем
в пространстве (£„)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Теория кубатурных формул сложилась как новое направление математики в 60-е годы в результате исследований С.Л. Соболева и прочитанного им курса лекций по теории кубатурных формул в Новосибирском государственном университете в 1965-1966 годах,
В связи с появлением в 1974 году монографии «Введение в теорию кубатурных формул» С.Л. Соболева, это направление математики, предметом которого является приближение интегралов формулами механических квадратур, превратилось из набора отдельных формул для вычисления кратных интегралов в новую математическую дисциплину, тесно связанную с другими разделами математики: анализом, теорией функций, функциональным
анализом, теорией дифференциальных уравнений, алгеброй, теорией чисел.[56] В диссертационной работе основной целью является построение и исследование асимптотической оптимальности кубатурных формул для областей с кусочно-гладкой границей в пространстве Соболева IV(Еп) и
весовых кубатурных формул в пространстве Соболева ¥'" (Еп ).
Для достижения цели ставятся задачи:
- построение и исследование кубатурных формул для областей с гладкими и кусочно-гладкими границами;
- построение и исследование эрмитовых кубатурных формул для области с гладкой границей;
- получение асимптотически оптимального функционала погрешности исследованных кубатурных формул и явного вида коэффициентов этого функционала погрешности;
- исследование весовых кубатурных формул с пограничным слоем.

Объектом исследования в данной работе служат весовые кубатурные формулы приближенного вычисления многомерных интегралов и кубатурные формулы, в которых участвуют как значения самой функции, так и значения ее производных. Область интегрирования О при этом ограничена кусочногладкой границей [51].
Для приближенного вычисления интеграла по области О предлагается использовать кубатурную формулу, то есть приближенное равенство вида
ё(х)(р(х)сЬс'Ск(р(х{к)) (1)

п к= а<(7
где х—точка «-мерного пространства Еп, а = (а1,а2
д(р{х{кЛ
В>(х(А)) = С1- коэффициенты, сг
порядок старшей производной, g{x) - весовая функция и ТУ - число узлов.
При этом само приближенное значение интеграла представляется в виде линейной комбинации значений функции (р{х) и значений ее производных:
у у сгъ>(#>)= |у у (
к=\а<ст пЛ=1|а|<(Т
где д(х) - известная функция Дирака.
Интегрируемые функции считаем элементами некоторого банахова пространства В, вложенного в пространство непрерывных функций:
5ссС(п|. (3)
Функционалом погрешности кубатурной формулы (2) называется обобщенная функция /п (х) вида

/Н(х ,у)
Добавим слагаемое ——х - , где |х0 -а<8 и х —> а. Получим

/(ад) -1' Щл(х_ау+_ „г
а=о а! от!
--—~~~Г~(*-а)т + Я1 “«Г (а + (х-а)и,у)Ои
<£? 1х(а’У)( сс , /хтх0>у)( т
~]Ь~*(х~а) 1>-а) ~ '
(1-1)Г 1(-,”)(хо»>;)-/х('”)(а + (х~а)м))б?м’ где
>х0 - а< д.
Учитывая, что 12(х,у),уа -0,а = 0,1
х,у),/{х,>’))| С/г"шах|/]т)(х0,у)- /Л(ш)(а + (х -а)м,у) < СИто{ 1). Коэффициенты функционала (1.1.2) определяются из условий
КРт. + Уг))~ ТаА*{Р)8{Уг ~ н{Рг + Уг + *) + ?1{Р№),Уа) = 0, а = ОД
я=0
(1.1.7)

или (Д )*а -(»7(А)Г» а = 0,1
Элементарный функционал для куба ДАу3 принимает вид