Оценки скорости сходимости итерационных методов для некорректных операторных уравнений с истокообразно представимыми решениями

• Автор: Котикова, Наиля Азатовна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Йошкар-Ола
• Количество страниц: 123 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ

СХОДИМОСТИ С ДАННОЙ СКОРОСТЬЮ МЕТОДОВ

РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ

§ 1. Класс методов аппроксимации решений

линейных некоррек тных операторных уравнений

§2. Необходимые условия сходимости со степенной

скоростью методов аппроксимации решений линейных

некорректных операторных уравнений с точными данными

§3. Логарифмические оценки скорости сходимости методов аппроксимации решений линейных
некорректных задач с точными данными
§4. Прямые и обратные теоремы о скорости сходимости методов регуляризации для уравнений
с приближенной правой частью
§5. Примеры исследования скорости сходимости методов аппроксимации решений линейных
некорректных уравнений
§6. Обсуждение результатов главы
ГЛАВА 2. СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ МЕТОДОВ ИТЕРАТИВНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ НА
ОСНОВЕ СХЕМЫ ГАУССА-НЬЮТОНА
§1. Класс методов итеративной регуляризации
§2. Невырожденные оценки скорости сходимости
методов итеративной регуляризации
§3. Необходимые условия сходимости методов
итеративной регуляризации со степенной скоростью
§4. Необходимые и достаточные условия сходимости
метода А.Н. Тихонова со степенной скоростью
§5. Примеры итерационных процессов
§6. Обсуждение результатов главы
ГЛАВА 3. УСТОЙЧИВЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕКОРРЕКТНЫХ
ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Класс итерационных методов градиентного
типа с проектированием
§2. Устойчивые градиентно-проекционные методы с
приближенной реализацией операции проектирования
§3. Примеры аппроксимирующих семейств
для операторов проектирования
§4. Устойчивый градиентно-проекционный
метод с постоянным проектором
§5. Устойчивые итерационные процессы на основе
регуляризации метода Гаусса-Ньютона
§6. Обсуждение результатов главы
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Теория некорректных задач и численных методов их решения - активно развивающееся направление вычислительной математики, имеющее разнообразные приложения во многих областях естествознания и техники. Некорректно поставленные задачи естественным образом возникают в процессе математического моделирования в геофизике, астрофизике, компьютерной томографии, при обработке и интерпретации данных физических экспериментов (см., например, [1; 10, гл.У; 20, §§2.1, 4.2; 27; 50, гл. I; 54; 64, с. 18-30; 66, гл.6]). Задачи обращения классических интегральных преобразований (Фурье, Лапласа, Радона) также зачастую оказываются некорректными [54; 57; 58; 64, гл.5]. Интенсивное развитие теории некорректных задач во многом обусловлено появлением в последние десятилетия высокопроизводительной вычислительной техники. Как правило, эти задачи формулируются в виде операторных уравнений, зачастую нелинейных, или задач минимизации нелинейных функционалов, а также задач вычисления значений неограниченных операторов. Поскольку источником исходных данных на практике нередко служат измерения и эксперименты, операторы получаемых уравнений обычно бывают известны с той или иной погрешностью.
Корректность или некорректность постановки задачи является одной из основных ее характеристик, определяющих спектр численных методов решения этой задачи. Объектом изучения в работе являются операторные уравнения
^(х) = 0, хеН{, (1)
где Р: Я, —> /7 , - нелинейный дважды дифференцируемый по Гато оператор, 7/|, Н2 — гильбертовы пространства. Непрерывная обратимость производной Р'(х), либо оператора /г'*(х)К'(х) не предполагается, так что (1) является в общем случае некорректной задачей (см. ниже определение 1). Пусть

< sup [inIn...(-InЯ)] |l - A#(/l,a)|||v|| < C||v||[lnln...(-ln«)] p Vae(0,a0].
Яе(0 ,M
В силу условия 1, неравенство (8) верно при К = 1. Предположим, что (8) выполняется для некоторого К = I > 1. Полагая в обеих частях (8) Я = (- In и) 1 и а = (- In /?)-1, получим
sup [In In...(- In ju)]~p 1 - (- In juY1 в[{- In , (- In /?)'“') <
/ie(0^0]
]. (10)
где /70, /?0 е (О,М/+1) (/+1 символов In). Из (10) с учетом условия 1 (при р - 0)
и условия 2 следует оценка
sup [lnln...(—In//)]_/?|l — де(о,м]
УМ е(0,Af/+1), а0 е(0,М1+1).
(I +1 символов In). Таким образом, оценка (8) оказывается справедливой и в случае К = 1+1 символа In в левой и правой части. Отсюда в силу принципа математической индукции следует утверждение теоремы. Теорема доказана. □ Необходимость истокообразного представления (9) для выполнения оценки (1) устанавливает следующая
ТЕОРЕМА 5. Предположим, что выполняется условие 1.3 npit q- 0, d ~ 1 и для фиксированных A, f £ справедлива оценка (1) с показателем, р > 0, где ха определены в (1.2). Тогда имеет место включение
х*-£е7фп1п...НпЛ)Н) Vs е (0,р). (11)
(К символов In).

Доказательство. Из (1.2), (1) с учетом соотношения у = Ах находим
^ 2 ха-х* = (/ - Ав{А,а))(х*-ф) < C[lnln...(-lna)]~2/'.
Отсюда, используя представление (1.25), получаем