Численное решение краевых задач для вырождающихся уравнений методом конечных разностей

• Автор: Гахраманов, Полад Фаррух оглы
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 103 c. : ил

Глава I. Численное решение краевых задач типа Заремба и
Дирихле для уравнений эллиптического типа
§ I. Численное решение задачи типа Заремба методом
конечных разностей
§ 2. Численное решение задачи Дирихле методом конечных разностей для уравнения параболического вырождения и вырождения порядка
Глава II. Численное решение краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений в характеристическом треугольнике
§ I. Численное решение задачи Проттера методом конечных разностей
§ 2. Численное решение второй краевой задачи Проттера
методом конечных разностей
Глава III. Численное решение первой и второй краевой задачи для уравнения смешанного типа
§ I. Численное решение задачи Геллерстедта методом
конечных разностей
§ 2. Численное решение задачи типа Неймана для уравнения Лаврентьева - Бицадзе методом конечных
разностей
Литература

Математическое описание многих процессов газовой динамики, магнитогидродинамики, теории изгибании поверхностей и т.д. приводят к краевым задачам для уравнения смешанного типа ( см.напр, [53J, Ґ89І , f90] , [93] ).
И.Н.Венуа [l7] заметил, что уравнения смешанного типа встречаются также в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака и в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей.
Первые фундаментальные исследования в этой области связаны с именем итальянского математика Ф.Трикоми [85] . Он рассматривал уравнение
.. ЪАи Ъи
ч * W*" (1}
для которого црямая У - О является линией вырождения типа, причем в полуплоскости у > О оно эллиптического типа, а в полуплоскости У ^ О гиперболического.
Трикоми изучал следующую задачу: требуется найти регулярное в области $ решение уравнения (I) по граничным условиям
и = V на <э
и = V на А,
где if и у - заданные функции, a S - область, ограниченная гладкой линией Жордана б с концами в точках £(0,0)
В (1/0) t целиком лежащей в верхней полуплоскости, и характеристиками

Ц: х-т;(-Ч)ІМ=0, к, :х+і(-у)зи
уравнения (I).
Некоторые обобщения результатов Ф.Трикоми получены в работах С.Геллерстедта [32] , [33] , [34] , Ф.И.Франкля [89] , [90] , [91] . С.Геллерстедт рассматривает следующее уравнение смешанного
типа:
и наряду с задачей Трикоми исследует случай, когда в гиперболической части области значения искомого решения задаются на двух кусках характеристик, а в эллиптической полуплоскости граничные значения задаются на нормальной кривой
Следуя Трикоми, Геллерстедт сводит решение упомянутой задачи к сингулярному интегральному уравнению и,применяя известную идею
М.А.Лаврентьев впервые обратил внимание на то, что самым простым и типичным представителем линейных уравнений второго порядка смешанного ( эллиптико - гиперболического ) типа является уравнение
( 2 )
Карлемана [48] , решает его в явном виде.
( 3 )
для которого линией вырождения типа является ось у

В силу теоремы сравнения из (2.1.24),(2.1.25) получим:
и(*) г 1ХЛМ1 ■
Если выбрать
И= тах /(^1 »
то имеем:
Учитывая, что с&{'£) ^ О при и пользуясь теоремой 2.1.1. для решения задачи (2.1.23) получаем следующую оценку:
■гтх/Хь(*)1= тпах1ыл(*)-и(*И&4^, шахIV
д = .
1-ос
Отсюда следует
Теорема 2.1.2. Если решение задачи (2.1),(2.1.1),(2.1.2)
($Ь) » то решения разностных задач (2.1.6)-(2.1.8) или
(2.1.12)-(2.1.14) равномерно сходятся со скоростью О (т.е.
тпох шм-и / .•= А!л /Л/^,
где ЛЬ -некоторая положительная константа.
1.4. Устойчивость разностной задачи Проттера. Пусть разностная задача (2.1.6)-(2.1.8) разрешима. Тогда естественно требовать, чтобы при неограниченном измельчении сетки решение разностной задачи стремилось к решению исходной задачи для дифференциального уравнения. В этих рассуждениях мы предполагаем, что разност-