Приближенные методы решения некоторого класса задач гидродинамики и применение метода сеток к исследованию циркуляции вод в замкнутых водоемах

• Автор: Даулетияров, Кенесбай Жангабаевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 111 c. : ил

Глава I. Исследование метода сеток для уравнений

Бона-Смита и Бюргерса-Кортевега-де Вриза . 1£>

§ I. Постановка задачи, разностная схема,

свойства разностного решения

§ 2. Однозначная разрешимость разностной задачи 3l5

§ 3. Сходимость метода

Глава II. Численное исследование динамики циркуляции

вод в замкнутом водоеме

§ I. Постановка задачи и численный метод

(гиперболическая модель)

§ 2. Анализ результатов численных экспериментов 66 § 3. Об одной разностной схеме расчета ветровых течений в замкнутом водоеме (параболическая модель)
ЛИТЕРАТУРА

Исследование вопросов построения и сходимости разностных схем для нелинейных уравнений, а также вопросам разрешимости и корректной постановки краевых задач для этих уравнений и их разностных аналогов посвящены работы А.А.Абрамова и А.Н.Гаипо-вой, А.А.Абрамова и С.Х.Джумагазиевой, В.Н.Абрашина, С.Н.Антонцева, В.Ф.Баклановской, Н.С.Бахвалова, Ю.А.Березина, И.Н.Бондаревой, Ф.П.Васильева, А.А.Злотника, С.Н.Кружкова, Ж.Н.Кудряшевой, Г.М.Кобелькова, 0.А.Ладыженской, Н.А.Ларькина, А.Д.Ляш-ко, Г.И.Марчука, В.А.Новикова, 0.А.Олейник, М.А.Расулова,
А.А.Самарского, Л.Ф.Юхно, Н.Н.Яненко и многих других авторов.
Результаты, полученные в первой главе, дополняют уже известные исследования о сходимости разностных схем и о разрешимости дифференциальных уравнений и их разностных аппроксимаций.
В первой главе исследуются приближенное и точное обобщенное решение нелинейного уравнения
(Х^)б$ = &ХЮ, Т]3 &=[03 1).
Здесь оС3 )р £} сГ - константы, О3 оС? О л £%'0]
£?/ О .При <Г~ 0, / - О уравнение (I) превращается в известное уравнение Бюргерса-Кбртевега-де Вриза, а при £
О ; <Г= О - в уравнение Бона-Смита, которое принято
считать альтернативным по отношению к уравнению Кортевега-де Вриза.
Предполагается выполнение начального условия (2) и1*о = ио СХ)>

а в качестве граничных условий используются условия Ь, -периодичности ( 1 ) функции и(х^) по X при £ в Т]. Разностные методы решения уравнений Кортевега-де Вриза описаны, например, в монографии Г17]. Разрешимость краевой задачи для уравнения Кортевега-де Вриза методом параболической регуляризации доказана в Ш; в [20] доказана разрешимость задач для уравнения Кортевега-де Вриза в классе растущих коэффициентов.
В книге [43] исследуются вопросы разрешимости некоторых классов нелинейных уравнений в частных производных третьего порядка, в том числе и уравнения Бона-Смита, с другими граничными условиями. Разностные методы решения этих задач в [43] не исследуются.
В первом параграфе для рассматриваемой задачи предлагается следующая консервативная схема
(3) (№"-Щ = /-4* +
/= «и/?,
с условием (4>
и с условиями Ь -периодичности ПО X {1*-1 ) в качестве граничных условий. Доказана теорема о свойствах разностного решения при различных наборах констант сС
Теорема 1.1:
При любых ф решение задачи (3), (4) удовлетворяет
соотношениям

задачи
(1.1.1), (1.1.2). Во-первых, (Л (сс. Ь) имеет конечный 1Л1(хс1Ъ-&Х- &} » так как является пределом в У« равномерно ограниченной последовательности функций АС У) -Во-вторых,
(о,У', Ц(.&)) при
I (о,Т'} Ц (<з))при £ *
8-р €.1*3($>) при 8 ФО ■
<дх 1 '
Ц, является Ь -периодической по ОС . Остается показать, что для а выполняется (1.3.10). Достаточно в качестве взять элемент всюду плотного в }/Л 1)1 С$)
(или ’Ь/^1 (%>) при р Ф- 0 ) множества ма функций,
1^ -периодических по ОС » непрерывных и имеющих непре-
'Эф
рывные производные 5 > Раишх НУ
при 'Ь е(Т- /I) т) ; > О . Пусть
^ С ЛА'р в точках сетки. Умножим (1.1.6) на ^ и просуммируем по всем I , к , применяя формулу (1.1.3).
Получим сумматорное тождество
- значения
•л