Решение краевых задач для параболических уравнений методом Монте-Карло на основе преобразования Фурье

• Автор: Меньщиков, Борис Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 99 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Использование преобразования Фурье для решения задачи Дирихле для уравнения теплопроводности
1.1. Основная задача и использование преобразования Фурье
1.2. Решение задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца с комплексным параметром
1.3. Решение задачи Дирихле для уравнения теплопроводности
1.4. Решение многомерной задачи Дирихле для уравнения теплопроводности и уравнения Гельмгольца
1.5. Тестовые расчеты
Глава 2. Решение смешанных краевых задач для уравнения Гельмгольца с комплексным параметром методом Монте-Карло и применение преобразования Фурье при решении краевых задач третьего рода для уравнения теплопроводности
2.1. Решение смешанной краевой задачи для уравнения Гельмгольца. с комплексным параметром
2.2. Решение смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности
2.3. Тестовые расчеты

Глава 3. Построение глобальных оценок решений
краевых задач
3.1. Построение глобальных оценок решения задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца с комплексным параметром
3.2. Построение глобальной оценки решения смешанной краевой задачи для уравнения Гельмгольца с комплексным параметром
3.3. Построение глобальных оценок решения смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности с использованием дискретного преобразования Фурье
3.4. Построение глобальной оценки решения смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности с использованием непрерывного преобразования Фурье
3.5. Тестовые расчеты
Глава 4. Вычисление производных от решений краевых
задач для уравнения теплопроводности
4.1. Вычисление производных по параметру
4.2. Вычисление производной по пространственной переменной с использованием нецентральной функции Грина для оператора Лапласа
4.3. Вычисление производной по пространственной переменной с использованием нецентральной функции Грина для оператора Г ельмгольца
4.4. Вычисление производной по времени от решения задачи для уравнения теплопроводности
4.5. Тестовые расчеты
Заключение
Литература

Введение
В последнее время методы Монте-Карло получили широкое развитие в задачах математической физики, в частности, в задаче теории переноса излучения [12, 31]. Преимуществами методов Монте-Карло являются, прежде всего, физическая наглядность и возможность решать задачи со сложной геометрией, а также возможность оценки функционалов и производных от решения задачи без оценки самого решения задачи.
Одним из подходов методов Монте-Карло является сведение исходной задачи к интегральному уравнению, используя формулу Грина. Затем, решение задачи оценивается методами статистического моделирования по локальным областям. Это легко реализуется через функцию Грина, которая может быть выписана явным образом для простейших областей.
Одной из разновидностей данных методов является алгоритм ”блуждания по сферам”, который был впервые предложен Дж. Брауном [2] для приближенной оценки решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Позднее данный алгоритм был расширен на решение краевых задач для уравнения Гельмгольца. Алгоритм ” блуждания по сферам” основан на моделировании точек последовательного выхода винеровского процесса из максимальных сфер, целиком лежащих в рассматриваемой области.
Методы Монте-Карло нашли широкое применение при решении краевых задач для уравнений в частных производных. Хорошо изучены следующие направления: построение оценок решений краевых задач для уравнения Лапласа, уравнения Гельмгольца с вещественным параметром [22]. Были разработаны так же алгоритмы оценки решений краевых задач для параболических уравнений. Краевые задачи для параболических уравнений решались, в основном, двумя

Глава
Решение смешанных краевых задач для уравнения Гельмгольца с комплексным параметром методом Монте-Карло и применение преобразования Фурье при решении краевых задач третьего рода для уравнения теплопроводности
В данной главе рассмотрим применение аппарата метода Монте-Карло на решения смешанных краевых задач для уравнения Гельмгольца с комплексным параметром и применение преобразования Фурье при решении краевых .задач третьего рода для уравнения теплопроводности.
2.1. Решение смешанной краевой задачи для уравнения Гельмгольца с комплексным параметром
В ограниченной области В С I?3, с границей Г, рассмотрим следующую краевую задачу:

Аи + си=—д, г 6 О, аи + /3—• = ср, г € Г, (2.1)

где коэффициенты а(г) и /3(г) предполагаются ограниченными и не обращающимися в нуль одновременно:
О < а(г) < атах, 0 < Р(г) < ртах, «(г) + /3(г) > 1, г е Г,