Смешанный гибридный метод конечных элементов и метод декомпозиции области для вариационных неравенств второго порядка

• Автор: Игнатьева, Марина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 145 с.

1 Обзор известных результатов

1.1 Формулировка вариационного неравенства

1.2 Функциональные пространства

1.3 Примеры вариационных неравенств

1.4 Теоремы существования, единственности и гладкости

1.5 Задача Стефана

1.6 Монотонные операторы и выпуклые функции

1.7 Аппроксимации вариационных неравенств

1.7.1 Аппроксимация задачи о препятствии

1.7.2 Аппроксимация задачи Синьорини

1.7.3 Аппроксимация контактной задачи

1.7.4 Алгебраические формулировки сеточных
вариационных неравенств
^ 1.7.5 Аппроксимация задачи Стефана
1.8 Некоторые итерационные методы
1.8.1 Метод верхней релаксации
1.8.2 Методы расщепления
1.9 Задача с седловым оператором для
вариационных неравенств

2 Смешанные гибридные методы для
эллиптических вариационных неравенств
2.1 Смешанная гибридная схема
для задачи Синьорини
2.1.1 Постановка задачи
2.1.2 Смешанная гибридная постановка
(# 2.1.3 Аппроксимация
2.1.4 Итерационный метод
2.1.5 Численные результаты
2.1.6 Метод решения конечноэлементной схемы
для задачи Синьорини
2.1.7 Численные результаты
2.2 Задача с ограничениями во внутренних точках области
2.2.1 Смешанная гибридная постановка
2.2.2 Аппроксимация

2.2.3 Численные результаты
3 Метод декомпозиции области для задачи о препятствии
3.1 Постановка задачи
3.2 Эквивалентная задача с суммой двух
максимально монотонных операторов
3.2.1 Аппроксимация
3.2.2 Метод расщепления
А 3.3 Метод декомпозиции области с использованием
функции Лагранжа
3.3.1 Аппроксимация
3.3.2 Метод расщепления
3.3.3 Другие варианты выбора предобусловливателя
3.4 Численные результаты

Решение задачи Стефана с предписанной конвекцией
4.1 Смешанная гибридная схема
4.1.1 Математическая модель
4.1.2 Смешанная гибридная формулировка задачи
4.1.3 Аппроксимация
4.1.4 Численные результаты
4.2 Декомпозиция области в задаче Стефана
4.2.1 Схемы предиктор-корректор
4.2.2 Численные результаты
где й° Є K'v — начальное приближение.
При следующих способах выбора оператора В в (1.41) получим известные схемы:
явная (относительно А) схема, при В = Е, D = diag(r т):
(йп+1 - йп)/т + Аип + Сйп+1 Э /, (1.42)
схема Писмана — Рэкфорда, В — ^-(Е + тА), D — diag(r,... ,т): (й"+1/2 - йп) /т + Айп + Сйп+1'2 Э /,
(йп+1 - 2йп+1/2 + йп)/т + А(йп+1 - йп) = 0, (1.43)
схема Дугласа — Рэкфорда, В — (Е + тА), D = diag(r т):
(ип+1/2 - «в)/г + Айп + Сйп+1/2 В /,
(«п+1 - йп+1/2)/т + A(un+l - йп) = 0. (1.44)
Далее, если для двух линейных положительно полуопределенных операторов Л и В, действующих в пространстве V, выполняется неравенство ((Л — В)х,х) ^ 0 для всех х Є V, то будем писать А > В.
Теорема 1.14 [17]. Пусть тпЕ ^ А = Ат ^ MB, где тп,М
= const > 0, Е — единичная матрица, и С — максимально монотонный оператор. Обозначим zn — йп—й, гдей — точное решение задачи (1.39). Тогда:
1) Итерационный метод (1-42) сходится, если т Є (0,2/М), и для т = то = 2/(М + m) справедлива оценка
2) Итерационные методы (1-43), (1-44) сходятся для любого т > 0 и для т = то — //Мт справедливы следующие оценки:
||(В + т0Л)г"|| < (||(Е + тоЛ)2°|| для метода (1-43) ; у-у/М+у'шу