Теория и алгоритмы вариационной сплайн-аппроксимации

• Автор: Роженко, Александр Иосифович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 231 с.

Глава 1. Элементы функционального и выпуклого анализа

1.1. Определения и обозначения

1.2. Условия нормальной разрешимости линейного ограниченного

, оператора

1.3. Эквивалентные нормы в банаховых пространствах

1.4. Линейная независимость операторов

1.5. Наилучшее приближение в выпуклом множестве

1.6. Сходимость наилучших приближений

1.7. Пространство С1ОС(С1) на локально-компактном множестве

Глава 2. Теория абстрактных сплайнов

2.1. Однозначная разрешимость смешанной задачи

2.2. Характеризация и операторное представление сплайнов
« 2.3. Разложение сглаживающего квазисплайна
2.4. Выбор параметра сглаживания
2.5. Представление невязки сглаживающего сплайна в виде суммы ряда
2.6. Сходимость абстрактных интерполяционных сплайнов
2.7. Сплайны на подпространствах: вариационная постановка и сходимость
Глава 3. Алгоритмы построения сплайнов
3.1. Воспроизводящее отображение полугильбертова пространства
3.2. Структура пространства сплайнов
3.3. Алгоритм построения смешанного сплайна
3.4. Построение полиномиального сплайна нечетной степени
3.5. Построение полиномиального сплайна четной степени
3.6. Использование разложения по базису 5-сплайнов
3.7. Построение В-сплайнового разложения полиномиального сплайна
3.8. Построение гетерогенного полиномиального сплайна
3.9. Построение вариационного 5-сплайна
Глава 4. Сплайн-аппроксимация функций многих переменных
4.1. Лт-сплайн
4.2. Сходимость Ит-сплайнов
4.3. Алгоритм построения Лт-сплайна на подпространстве
4.4. Сплайны Дюшона
4.5. Алгоритм построения аналитического сплайна
4.6. Построение аналитического сплайна на вырожденной сетке
4.7. Метод наименьших квадратов в сплайн-аппроксимации
4.8. Интервальная сплайн-интерполяция
Глава 5. Сплайн-аппроксимация в тензорном произведении
гильбертовых пространств
5.1. Тензорные произведения пространств
5.2. Нормально разрешимые операторы в тензорном произведении пространств
5.3. Сплайны в тензорном произведении пространств
5.4. Тензорные произведения функциональных пространств
Заключение
Литература
Приложение. Библиотека сплайн-аппроксимации ЗЭрНпе-!
Описание ядра библиотеки
Описание раздела линейной алгебры
Описание раздела сплайн-аппроксимации
Предлагаемая Вашему вниманию диссертационная работа посвящена в основном теории сплайнов многих переменных, а также практическим аспектам построения таких сплайнов. Прежде чем очертить рамки данной работы и ее место в ряду исследований других авторов, дадим небольшой экскурс в историю развитая теории сплайнов.
Принято считать, что теория сплайнов берет свое начало с работы Шёнберга [115], в которой было введено понятие сплайна как функции одной переменной, “склеенной” из кубических многочленов. На основе этого приема были предложены различные варианты аппроксимаций: полиномиальные сплайны высоких степеней, тригонометрические сплайны, L-сплайны. Рассматривались также сплайны с разнородными условиями интерполяции (гетерогенные сплайны) и различными типами краевых условий [12, 27, 69, 70, 117]. Усилиями зарубежных и советских авторов (Алберг, Нилсон, Уолш, B.C. Рябенький, Ю-С. Завьялов, С.Б. Стечкин, Ю.Н. Субботин и др.) были получены оценки сходимости таких сплайнов к функциям различной гладкости с привлечением различных типов краевых условий и способов сгущения сетки. Задача одномерной полиномиальной сплайн-интерполяции была обобщена на многомерный случай интерполяции на прямоугольных сетках [1, 82, 27, 40].
Принципиально новый виток развития теории сплайнов начался с работы Холлидея [91], в которой был найден вариационный принцип для кубического сплайна. Аттья в [74, 75] обобщил понятие сплайна, рассматривая его как решение задачи аппроксимации в гильбертовом пространстве, минимизирующее некоторый выпуклый функционал типа полунормы. Новый подход оказался весьма продуктивным. Были получены в общей форме условия существования, единственности и характеризации сплайнов [41]; найдены вариационные принципы для биполиномиальных интерполяционных и сглаживающих сплайнов [24-26, 30]; разработаны алгоритмы построения сплайнов методом воспроизводящих ядер [76, 96]; доказаны общие теоремы сходимости сплайнов [13, 92]; показана связь между сплайнами и оптимальными в смысле Сарда аппроксимациями линейных функционалов [112, 116]; выявлена тесная связь сплайнов с теори
Глава 2. Теория абстрактных сплайнов

На их основе элементарно доказывается сходимость сглаживающего квазисплайна аа К предельным элементам Од И (Too И выводятся оценки сходимости 0(a) и 0(а-1) соответственно.
§ 2.4 посвящен выбору параметра сглаживания. Задача выбора параметра сглаживания по критерию невязки рассматривалась начиная с Райн-ша [103, 104]. Исследование поведения функции невязки (а также функций е(а) и ае2(а) + ip2{aj) проведено в [23] (подробнее об этом сказано, например, в монографии В.А. Морозова [50]). В абстрактном случае теорема 2.4.2 о монотонности и выпуклости вверх функции ■0-1(/3) была доказана А.Ю. Бежаевым в [80] с использованием спектральных разложений операторов Т*Т и А*А. Автор доказывает этот факт по-другому, используя представление сглаживающего квазисплайна, полученное в § 2.3.
Алгоритм поиска параметра сглаживания методом Ньютона автору удалось записать в терминах оператора невязки Ra (теорема 2.4.4). Это позволяет создать универсальных! алгоритм выбора параметра сглаживания, применимый к любым вариационным сплайнам. Оказалось, что оператор невязки легко дифференцируется (лемма 2.4.3). Этот факт был получен автором под влиянием похожих идей А.Ю. Бежаева [80, Section 12.8].
В § 2.5 на основе формул дифференцирования операторов Ra и Qp = I — Ri/p получены разложения невязки сглаживающего сплайна в ряд по степеням Ra и Qp (теоремы 2.5.1, 2.5.3). Похожий ряд был получен ранее А.Ю. Бежаевым [80, Theorem 12.10]. Автору удалось расширить интервал сходимости этих рядов по сравнению с цитируемой теоремой (см. леммы 2.5.2, 2.5.4). Отметим также, что использование данных рядов позволяет создать алгоритм выбора параметра сглаживания с “замораживанием” сглаживающего коэффициента, что может оказаться перспективно, если перерасчет сплайна для нового значения параметра сглаживания во много раз “дороже”, чем вычисление невязки сплайна.
§ 2.6 посвящен сходимости интерполяционных сплайнов при сгущении сеток условий интерполяции. Сходимость сплайнов в силу своей важности изучалась многими авторами. Первоначально исследовалась классическая постановка, когда для функции из некоторого функционального класса (например, из С[а, Ь}) строился интерполяционный полиномиальный сплайн на некоторой сетке и изучались условия и порядки сходимо-