Разработка разностных схем на сгущающихся сетках для краевых задач с пограничным слоем

• Автор: Тиховская, Светлана Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 105 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Построение и анализ разностных схем для сингулярно возмущенной задачи Коши

1.1. Постановка задачи

1.2. Анализ дифференциальной задачи

1.3. Построение и анализ разностной схемы на равномерной сетке

1.4. Построение и анализ разностной схемы на сетке Шишкина

1.5. Результаты численных экспериментов

Глава 2. Разностные схемы повышенной точности для нелинейного ОДУ второго порядка на сгущающихся сетках
2.1. Повышение точности схемы направленных разностей для нелинейного ОДУ второго порядка
2.1.1. Предварительные сведения
2.1.2. Двухсеточная реализация схемы направленных разностей
2.1.3. Экстраполяции Ричардсона
2.1.4. Результаты численных экспериментов
2.2. Модифицированная схема Самарского для нелинейного ОДУ второго порядка
2.2.1. Предварительные сведения
2.2.2. Линеаризация Пикара
2.2.3. Линеаризация Ныотона
2.2.4. Двухсеточная реализация схемы Самарского
2.2.5. Результаты численных экспериментов
Глава 3. Двухсеточный метод решения эллиптического уравнения на сетке Шишкина
3.1. Задача реакция-диффузия
3.1.1. Постановка задачи
3.1.2. Двухсеточный метод
3.1.3. Экстраполяция Ричардсона
3.1.4. Результаты численных экспериментов

3.2. Задача конвекции-диффузии в случае параболических пограничных слоев
3.2.1. Постановка задачи
3.2.2. Экстраполяция Ричардсона
3.2.3. Результаты численных экспериментов
3.3. Задача конвекции-диффузии в случае регулярных пограничных слоев
3.3.1. Постановка задачи
3.3.2. Экстраполяция Ричардсона
3.3.3. Результаты численных экспериментов
Заключение
Список литературы

Введение
Актуальность темы исследования. При математическом моделировании различных физических явлений, таких как течение вязкой жидкости, процессы тспломассонсреноса и др., возникают начальные и краевые задачи для уравнений с малыми параметрами при старших производных. Это могут быть малые коэффициенты диффузии при моделировании распространения примесей, малые коэффициенты вязкости при моделировании течений жидкости.
Как известно, решение сингулярно возмущенной краевой задачи имеет большие градиенты в области пограничного слоя, что приводит к потере сходимости классических разностных схем и делает их непригодными при решении задач с пограничными слоями. Вопрос построения разностных схем для таких задач исследуется в работах многих авторов.
Впервые вопрос о неприемлемости классических разностных схем |17,42] и построении специальных схем, обладающих свойством сходимости независимо от значения малого параметра, был поставлен в 19G9 году в работах Бахвалова Н.С. |6j и Ильина А. М. [32|. В этих работах заложены два различных подхода к решению задач с пограничным слоем, которые в дальнейшем стали основополагающими.
В работе Ильина А. М. [32] строится схема экспоненциальной подгонки, коэффициенты схемы подобраны так, чтобы на экспоненциальной погранслойной составляющей решения схема была точной. Подход Ильина А. М. для построения равномерно сходящейся разностной схемы с экспоненциальной подгонкой на равномерной сетке использован в работах Багаева Б. М. [4,5], Задорина А. И. [22,23], Шайдурова В. В. [4,5], Miller J. J. Н. [19,67,76], Roos H.-G. [80-82], Stynes М. [69,81,82] и в работах других авторов. В [57] Шишкиным Г. И. было доказано, что в случае эллиптической задачи с параболическими пограничными слоями не существует схемы экспоненциальной подгонки, обладающей свойством равномерной сходимости. Схемы подгонки приемлемы при наличии регулярных пограничных слоев.
В работе Бахвалова Н.С. [6] применяется классическая центрально-разностная схема, но на сгущающейся в пограничных слоях сетке. Сетка строится так, чтобы погрешность аппроксимации была равномерной по узлам сетки. Доказано, что на такой сетке, впоследствии называемой сеткой Бахвалова, разностная схема обладает вторым порядком точности равномерно по малому параметру. Подход Бахвалова Н. С. для построения равномерно сходящейся разностной схемы за счет сгущающейся сетки использован в работах Андреева В.Б. [1-3], Бахвалова Н.С. [6-8], Благова И.А. |9, 10], Ильина В.II. [35], Ко-

При выполнении условий (2.2) решение задачи (2.1) ограничено равномерно по е:
ІМІ < Ь0 = а 1 (|/(г,0)|| + тах{|Л|, |£|}
и в соответствии с [89] справедлива оценка производных:
|«0)(*)1 < Со {еЧ + 1) , 3=1.2, 3.
(2.3)
Здесь и далее иод С и понимаем положительные постоянные, не зависящие от е и числа узлов сетки.
Таким образом, решение задачи (2.1) при выполнении условий (2.2) имеет пограничный слой у левой границы исходного интервала.
Вопрос построения разностных схем для задачи вида (2.1) исследовался в работах некоторых авторов. В [35] рассмотрено нелинейное уравнение без конвективного слагаемого и построена схема второго порядка точности на сетке, сгущающейся в пограничных слоях. В [55] для задачи (2.1) на неравномерной сетке построена разностная схема второго порядка точности на основе метода асимптотических конструкций.
В соответствии с [58] зададим сетку:
З’д'.о- = {*» : Хі = Хі-і 4- /гііЛг, х0 = 0, = 1, г = 1,2,,.., IV}
(2.4)

(2.5)

N N = N+1 - и?)/Пг+1.ЛГ - (Д - цГЮЛьЛГ
(Л, + Л,+1,лг)/
Согласно [82] имеет место оценка погрешности схемы (2.5):
шах и(хі) - и1? | < Снг-ту-. і уу
(2.6)
2.1.2. Двухсеточная реализация схемы направленных разностей
Схема (2.5) представляет собой нелинейную систему алгебраических уравнений и её решение может быть найдено на основе итераций.