Скалярные алгоритмы метода Монте-Карло для решения метагармонических уравнений

• Автор: Лукинов, Виталий Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 82 с. : ил.

Глава 1. Вероятностное представление для решения метаэ-ллиптического уравнения

1.1. Основные определения

1.2. Вероятностное представление для решения первой краевой задачи для уравнения (Ь + с)р+1и = —д

1.3. Дискретный метод Эйлера для решения бигармонического уравнения А Да — д

Глава 2. Алгоритмы “блуждания по решётке”

2.1. Переход от дифференциальных уравнений к конечноразностным

2.2. Оценка решения метагармонического уравнения

(Д + с)р+1 = д

2.3. Оценка решения уравнения (Д + с)(Д + Ь)и = — д

2.4. Глобальная оценка решения уравнения (Д + с)(А + Ь)и = — д и задача минимизации трудоёмкости
2.5. Оценки решений уравнения ААи 4- сАи + Ъи = —д, уравнения со слабой нелинейностью ААи + сАи + Ьит = —д, и задач со смешанными краевыми условиями, включая условие Неймана
2.6. Оценки решения метагармонического уравнения
(Д + с^ДД + Х2})... (Д + с^)« = — д и первого собственного числа многомерного оператора Лапласа
2.7. Численные результаты
2.7.1. Метод, основанный на “блуждании по решётке”
2.7.2. Сравнение алгоритмов, ' соответствующих “блужданию по решётке” и дискретному методу Эйлера

Глава 3. Алгоритмы “блуждания по сферам”
3.1. Основные обозначения и определения
'Ш 3.2. Оценки решения метагармонического уравнения
(Д + с)ри = д
3.3. Оценки для решения бигармонического уравнения
при п = 2,3
3.4. Оценка ковариационной функции решения уравнения А2и = д со случайными параметрами при п = 2
3.5. Оценка ковариационной функции решения уравнения А2и + си = д со случайными параметрами
3.6. Численные примеры
^ 3.6.1. Нахождение решения трёхмерного бигармонического
уравнения
3.6.2. Сравнение двух методов для вычисления ковариации бигармонического уравнения
3.6.3. Реализация двух алгоритмов для нахождения ковариационной функции решения уравнения А2и + си = д
Заключение
Список литературы

Официальной датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949 год, когда была опубликована статья [46] С. Улама и'Н. Мет-рополиса. Сам термин был предложен еще во время Второй мировой войны выдающимися учеными XX века математиком Дж. фон Нейманом и физиком Энрико Ферми в Лос-Аламосе (США) в процессе работ по ядерной тематике. Хотя методы Монте-Карло были известны и до 40-х годов, интенсивное развитие статистическое моделирование получило несколько позже в связи с появлением компьютеров, что позволило проводить вычисления больших объемов. С другой стороны, всё большее распространение получает статистическое описание тех или иных сложных физических процессов в связи с чем методы Монте-Карло всё более активно используются во многих научных областях (теория переноса, теория массового обслуживания, теория надежности, статистическая физика и др.).
Основными преимуществами данных методов являются
• физическая наглядность и простота реализации,
• малая зависимость трудоемкости задачи от её размерности,
• возможность решения задач со сложной геометрией,
• оценивание отдельных функционалов от решения без запоминания значений решения во всей области,
• вероятностные представления позволяют строить обобщённые решения уравнений,
• одновременное оценивание вероятностной погрешности оценки искомого функционала,
• простое распараллеливание методов.
Одна из схем решения краевых задач методом Монте-Карло заключается в сведении исходной дифференциальной задачи к некоторому интегральному уравнению, что даёт возможность использовать развитой
ма дискретного метода Эйлера. Результаты сравнения численных методов представлены в таблице 6.
Таблица 6. Сравнение алгоритма “блуждания по решётке” и дискретного метода Эйлера.

Из полученных результатов следует что первый алгоритм более экономичен по времени. Однако, следует отметить что это сравнение не строгое. Численные результаты зависят от программы, реализующей алгоритм, и вычислительной мощности процессора машины.
є її т2
0.1 0.06 с. 1с.
0.01 20 с. 35 с.
0.001 30 мин. 50 мин.