Многомерная аппроксимация функциями специального вида

• Автор: Сазонова, Людмила Валентиновна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 107 c. : ил

§ I. Постановка задачи и ее разрешимость

§ 2. Квадратная чебышевская интерполяция

2.1. Разбиение множества на конечное число знаковых областей

2.2. Решение задачи (2.1) в альтернансной знаковой области

2.3. Оценка типа оценки Валле-Пуссена

2.4. Решение задачи квадратной чебышевской интерполяции

2.5. Вспомогательные экстремальные задачи

2.6. Признак оптимальности альтернансной пары

§ 3. Достаточные признаки оптимальности

§ 4. Необходимые признаки оптимальности

§ 5. Приближение функции двух переменных произведением функций одной переменной

5.1. Определение двумерного альтернанса
5.2. Первый достаточный признак оптимальности
5.3. Второй достаточный признак оптимальности
5.4. Необходимые и достаточные условия оптимальности в альтернансной форме
§ 6. Опровержение некоторых опубликованных результатов
§ 7. Построение решения для одного класса функций
§ 8. Об п- поперечниках в пространстве С
§ 9. Численные методы
9.1. Метод решения задачи квадратной чебышевской интерполяции

9.2. Метод решения задачи (1.2)
9.3. Метод решения задачи равномерной аппроксимации матрицы произведением векторов
§ 10. Решение некоторых вычислительных задач
10.1. Примеры аппроксимации некоторых гладких функций
10.2. Выбор начального приближения
10.3. Оценка снизу для величины наилучшего приближения
10.4. Способ аппроксимации для одного класса функций
10.5. Задача, связанная с теорией обработки изображений
Литература

Многомерная аппроксимация - сложная и мало разработанная проблема. К ней относится, в частности, задача аппроксимации функции многих переменных суммой произведений функций, каждая из которых зависит лишь от одной из переменных. Аппроксимация такого вида нашла свое применение в проблеме "сжатия" информации. Например, при численном решении многомерных задач, при их реализации на ЭВМ большие трудности возникают в связи с использованием в качестве исходных данных или в качестве полученного результата функции многих переменных. Объем таблиц таких функций обычно очень большой и результат из-за огромного количества материала трудно обозрим. Один из возможных способов преодоления возникающих здесь затруднений состоит в применении ап-цроксимации рассматриваемого вида. Аппроксимация функции многих переменных суммой произведений функций одной переменной находит свое применение в вопросах повышения эффективности систем передачи информации, в теории обработки изображений [25,36,37], в задачах распознования образов, а также при численном решении некоторых дифференциальных и интегральных уравнений [31]. В работе [5], например, приведены результаты применения такой аппроксимации к задачам сжатия данных и фильтрации сильно зашумленных сигналов.

Для функции двух переменных задача ставится следующим образом. Пусть непрерывная функция задана на и »V ,
где и И V - некоторые метрические компакты. Зафиксируем некоторое целое число Ъ . Требуется найти такие системы непрерывных функций
, заданных
заданных на V , где е 1 •. г , которые решают следующую

установленном в §3 (см. теорещу 3.4).
Приведем пример функций се* (и') и (<*•) , которые обладают двумерным альтернансом со знаковым условием (5.6).
Пример 5.1. Пусть ] = Cos (v-v) + JLCos (lv)■ Cosjji MM]
задана на UxV = [-і, і] х .
Положим
ес* (Ф) = Cos [ті (ги £) (ini')] 5 = 2. Cos (li£)
и покажем, что множество
есть двумерный альтернанс, для котрого выполнено условие (5.6). Так как Ь*(ід^-) = Cos(tiV) для всех ]u,i>]eU*V , а I h. МИ ДЛЯ , то ясно, что
Определим знаки функций h*(u,^ и 0С*(гі)г|* (і?-*) в точках множества А . Они изображены на рис.2 и рис.З соответственно.
4-і

Щ'1
1^г2И ЪшЦЪ <* = 5Т?
Рис. 2. * Рис. 3.
Легко видеть, что ("Ь)1"^ 'О* (4,-^) на множестве А имеет одинаковые знаки и, следовательно, А - двумерный альтернанс. На рис.4 изображены знаки IМ) в точках множества А . Сравнивая знаки ос» видим, что для А
выполнено условие (5.6).