Приближенные методы решения вариационных и квазивариационных неравенств теории нелинейной фильтрации и теории мягких оболочек

• Автор: Задворнов, Олег Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 244 с. : ил.

ГЛАВА 1. Итерационные методы решения вариационных и квазивариационных неравенств
§1. Итерационный метод решения вариационных неравенств с монотонным оператором в гильбертовом пространстве
§ 2. Итерационный метод решения вариационных неравенств в гильбертовом пространстве в случае суммы монотонных операторов
§ 3. Итерационный метод решения квазивариационных неравенств с псевдомонотонным потенциальным оператором в банаховом пространстве,
Глава 2. Исследование задач теории нелинейной фильтрации
§4. Задача фильтрации с непрерывным законом при наличии точечного
источника
§ 5. Задача фильтрации с непрерывным законом при наличии нескольких
точечных источников
§ 6. Задача фильтрации с многозначным законом при наличии точечных
источников
ГЛАВА 3. Исследование задач теории мягких оболочек при наличии
препятствия
§ 7. Постановка задачи о равновесии мягкой оболочки, ограниченной в перемещениях препятствием
§ 8. Существование решения обобщенной задачи для мягкой сетчатой оболочки при наличии препятствия
§ 9. Свойства множества допустимых перемещений в задаче с препятствием выпуклой формы
§ 10. Задача с выпуклым допустимым множеством при наличии следящей
поверхностной нагрузки
Глава 4. Приближенное решение стационарных задач теории нелинейной фильтрации и теории мягких сетчатых оболочек
§ 11. Исследование приближенных методов решения задач о равновесии сетчатой оболочки с препятствием
§ 12. Численное решение модельных задач о равновесии оболочки при наличии препятствия
§ 13. Исследование приближенных методов решения задач фильтрации с точечными источниками
§ 14. Численное решение модельных задач фильтрации с точечными источниками
Литература

Вариационные и квазивариационные неравенства возникают при описании многих процессов механики сплошной среды, экономики, биомеханики и т.д. (см., например, [89], [115], [131], [161], [194], [197], [201]). Поскольку возникающие здесь задачи сложны и, как правило, нелинейны, то для их решения приходится использовать приближенные методы, основанные на конечномерных аппроксимациях изучаемых задач при помощи метода конечных элементов и метода конечных разностей. Эти методы развиты к настоящему времени достаточно полно для уравнений и вариационных неравенств, различные аспекты их освещены, например, в [97], [115], [157], [159], [165], [186], [196], [198], [211]-[216], [221]-[223].
Нелинейные уравнения и вариационные неравенства также давно являются объектами изучения. Эти уравнения и неравенства возникают во многих прикладных областях, к которым относятся, в частности, нелинейная теория фильтрации несжимаемой жидкости с предельным градиентом (см., например, [94], [151], [166], [164], [206]). Другой такой областью является теория мягких оболочек. Возникающие здесь задачи находят широкое применение при проектировании различного рода конструкций, изготовленных из мягких тканевых или пленочных материалов (см., например, [135], [153], [184], [185], [199], [248]).
Диссертация посвящена построению и исследованию итерационных методов решения вариационных и квазивариационных неравенств, возникающих при математическом моделировании стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек, находящихся под воздействием поверхностных и массовых сил, при наличии препятствия и стационарных заПри этом из (1.5) и (1.26) следует равенство
(Ли, Ат])н = (и, г})у У и, г] е V. (1.27)
При исследовании сходимости итерационного процесса (1.12) нам потребуется следующее свойство оператора перехода Т:
Теорема 1.3. Пусть оператор А является обратно сильно монотонным с константой а > О, оператор Л* о Л является каноническим изоморфизмом, и выполнено следующее условие:

т <
2сгг +
Тогда оператор Т является нерастягивающим.
Более того, для произвольных 9 = (51,92,93) ир — (рх,Р2,Рз) из $ справедливо неравенство (далее используются следующие обозначения Т9 = (Т19,Т29,Тз9), Тр = (Т1Р,Т2р,Т3р))
\Тя - Тр\2я + 8 (Л?1 - Арисц - рх)у +
+г 11(92 - ЛТ19) - (р2 — АТ1Р)\2Н +
+т(1-тг) ^ ~тгЖд1 ~ Тг<й ~ ^ _ ТхР')) “ т ^ ~ -
<к~Р\1, (1-29)

2ст — т(2аг + 1)
<7(1 — тг)
Доказательство. Заметим предварительно, что в силу условия (1.28) выполнены неравенства гг < 1 и 5 > 0, а значит, из (1.25) получаем, что
6 (Ад{ - Арх,дх -рх)у >8а\Адх - Арх\2у > 0.